Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и момента импульса, применённые к системе двух тел. Когда масса одного из тел изменяется, происходит изменение вращательного импульса системы, что повлечёт изменение периода обращения тел.
Пусть исходно массы тел равны ( m_1 = 7 ) тонн и ( m_2 = 10 ) тонн, и их период обращения равен ( T_0 ). После уменьшения массы второго тела на 30%, её новая масса будет ( m_2' = 0.7 \cdot 10 = 7 ) тонн.
Момент импульса системы тел до и после катаклизма должен оставаться постоянным:
[ m_1 \cdot r_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot r_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot r_1' \cdot v_1' = m_2' \cdot r_2' \cdot v_2' ]
где ( r_1, r_2 ) - расстояния от центра масс до тел, ( v_1, v_2 ) - линейные скорости тел, ( r_1', r_2' ) - новые расстояния после уменьшения массы тел.
Так как общий центр масс находится между телами и далеко от них, то расстояния остаются постоянными: ( r_1 = r_2 = r_1' = r_2' = r ).
Следовательно, ( m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 ) и ( m_1 \cdot v_1' = m_2' \cdot v_2' ).
Изменение массы второго тела:
[ \Delta m_2 = \frac{m_2 - m_2'}{m_2} \times 100% = \frac{10 - 7}{10} \times 100% = 30% ]
Так как ( v = \frac{2\pi \cdot r}{T} ) и ( m \cdot v = m' \cdot v' ), где T - период обращения, то ( \frac{m_1 \cdot r}{T} = \frac{m_2' \cdot r}{T'} ).
Отсюда получаем, что:
[ \frac{m_1}{T} = \frac{m_2'}{T'} ]
[ T' = \frac{m_2'}{m_1} \times T ]
[ T' = \frac{7}{7} \times T = T ]
Таким образом, период обращения остаётся неизменным при уменьшении массы одного из тел на 30%.
