В треугольнике АВС, АВ 12, АС 16, ВС 10 вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке М. Найдите АМ.

**Решение:** Дано: - Стороны треугольника: AB = 12, AC = 16, BC = 10. - Окружность вписана в треугольник ABC и касается стороны AC в точке M. Поскольку окружность вписана в треугольник ABC, то известно, что точка касания окружности с стороной треугольника является точкой деления этой стороны на две отрезка, пропорциональные смежным сторонам треугольника. Обозначим: - AM = x (длина отрезка AM), - CM = y (длина отрезка CM), - BM = z (длина отрезка BM). Также обозначим: - BC = a, - AC = b, - AB = c. Известно, что сумма длин двух отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника, равна длине этой стороны: AM + CM = b. Также, по теореме трапеции, сумма длин двух отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника, равна полусумме длин оснований, умноженной на отношение высот треугольника к основаниям: AM + CM = BC * (AB + AC) / (AB + BC + AC). Подставим известные значения: x + y = 10 * (12 + 16) / (12 + 10 + 16), x + y = 10 * 28 / 38, x + y = 7.3684. Так как AM = x, то АМ = 7.3684. Ответ: Длина отрезка AM равна 7.3684.