решить

Для задачи номер 9 рассмотрим порядок решения системы неравенств:

Дана система неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - x - 6 \geq 0 \\ x^2 + x - 2 \leq 0 \end{cases} \]

Решение первого неравенства:

1. Решим квадратное неравенство \( x^2 - x - 6 \geq 0 \).

2. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

3. Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 \]

4. Анализируем промежутки: \( (-\infty, -2), [-2, 3], (3, +\infty) \).

5. Знак неравенства на каждом из промежутков:

   • Для \( (-\infty, -2) \) и \( (3, +\infty) \) подставим контрольные точки, например, \( x = -3 \) и \( x = 4 \): \[ x = -3: \quad 9 + 3 - 6 > 0 \] \[ x = 4: \quad 16 - 4 - 6 > 0 \]

6. Получаем, неравенство выполняется для \( x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty ) \).

Решение второго неравенства:

1. Решим квадратное неравенство \( x^2 + x - 2 \leq 0 \).

2. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

3. Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \]

4. Анализируем промежутки: \( (-\infty, -2], [-2, 1], [1, +\infty) \).

5. Знак неравенства на каждом из промежутков:

   • Для \( [-2, 1] \) подставим контрольную точку, например, \( x = 0 \): \[ x = 0: \quad 0 + 0 - 2 < 0 \]

6. Получаем, неравенство выполняется для \( x \in [-2, 1] \).

Найдем пересечение промежутков:

• Первое неравенство: \( (-\infty, -2] \cup [3, +\infty ) \).

• Второе неравенство: \( [-2, 1] \).

• Пересечение: \( x \in [-2, -2] = \{-2\} \).

Ответ: \( x = -2 \).