Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое при делении на 9 даёт остаток 3.…

Решение:

Давайте обозначим двузначное число, которое мы задумали, как \( 10a + b \), где \( a \) - это десятки, а \( b \) - это единицы.

Условие говорит нам, что это число делится на 15, следовательно, оно делится как на 3, так и на 5. Поскольку наше число двузначное, оно не может быть делиться на 5 (так как оканчиваться на 5 или 0), поэтому он должен делиться на 3.

Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр также должна быть делится на 3. Так как \( a \) и \( b \) — цифры, то \( a + b \) должно делиться на 3.

Давайте перейдем ко второму условию. Если мы приписываем справа к числу \( 10a + b \) его единицы \( b \), то получаем трехзначное число \( 100a + 10b + b = 100a + 11b \).

Это трехзначное число должно давать остаток 3 при делении на 9. Давайте выразим это в краткой форме:

\[ 100a + 11b \equiv 3 \pmod{9} \]

Теперь выполним расчет:

\[ a + b \equiv 0 \pmod{3} \]

Поскольку \( 100a + 11b \equiv 3 \pmod{9} \), тогда:

\[ 1a + 1b \equiv 3 \pmod{9} \Rightarrow a + b \equiv 3 \pmod{9} \]

Так как \( a + b \equiv 0 \pmod{3} \) и \( a + b \equiv 3 \pmod{9} \), это может быть выполнено только при \( a = 3 \) и \( b = 0 \).

Итак, число, которое мы задумали, равно \( 10 \cdot 3 + 0 = 30 \).

Ответ: Задуманное число - 30.