Решение:
Давайте обозначим двузначное число, которое мы задумали, как ( 10a + b ), где ( a ) - это десятки, а ( b ) - это единицы.
Условие говорит нам, что это число делится на 15, следовательно, оно делится как на 3, так и на 5. Поскольку наше число двузначное, оно не может быть делиться на 5 (так как оканчиваться на 5 или 0), поэтому он должен делиться на 3.
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр также должна быть делится на 3. Так как ( a ) и ( b ) — цифры, то ( a + b ) должно делиться на 3.
Давайте перейдем ко второму условию. Если мы приписываем справа к числу ( 10a + b ) его единицы ( b ), то получаем трехзначное число ( 100a + 10b + b = 100a + 11b ).
Это трехзначное число должно давать остаток 3 при делении на 9. Давайте выразим это в краткой форме:
[
100a + 11b \equiv 3 \pmod{9}
]
Теперь выполним расчет:
[
a + b \equiv 0 \pmod{3}
]
Поскольку ( 100a + 11b \equiv 3 \pmod{9} ), тогда:
[
1a + 1b \equiv 3 \pmod{9} \Rightarrow a + b \equiv 3 \pmod{9}
]
Так как ( a + b \equiv 0 \pmod{3} ) и ( a + b \equiv 3 \pmod{9} ), это может быть выполнено только при ( a = 3 ) и ( b = 0 ).
Итак, число, которое мы задумали, равно ( 10 \cdot 3 + 0 = 30 ).
Ответ: Задуманное число - 30.
