Для начала, давай разберем, что означают степени чисел. Если у нас есть число ( a ) в степени ( n ), то это означает, что нужно умножить число ( a ) на себя ( n ) раз.
Теперь, чтобы решить задачу, где нам нужно разделить ( 27^7 ) на ( 9^{10} ), мы можем воспользоваться следующими свойствами степеней:
- ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} ) (при умножении степеней одного и того же числа, мы складываем показатели степеней).
- ( a^m / a^n = a^{m-n} ) (при делении степеней одного и того же числа, мы вычитаем показатели степеней).
Итак, раскроем ( 27^7 ) и ( 9^{10} ) на множители:
- ( 27 = 3^3 ) (так как ( 3 \times 3 \times 3 = 27 ))
- ( 9 = 3^2 ) (так как ( 3 \times 3 = 9 ))
Теперь мы можем записать исходную задачу:
[ \frac{27^7}{9^{10}} = \frac{(3^3)^7}{(3^2)^{10}} ]
Теперь воспользуемся свойствами степеней, чтобы упростить это выражение:
[ \frac{(3^3)^7}{(3^2)^{10}} = \frac{3^{3 \times 7}}{3^{2 \times 10}} = \frac{3^{21}}{3^{20}} ]
Используя второе свойство степеней (при делении степеней одного и того же числа, вычитаем показатели степеней), мы получаем:
[ \frac{3^{21}}{3^{20}} = 3^{21-20} = 3^1 = 3 ]
Таким образом, ( \frac{27^7}{9^{10}} = 3 ).
