Реши

Для решения задачи по составлению уравнения гиперболы, проходящей через точку \( M\left(\frac{9}{2}, -1\right) \) и имеющей асимптоты \( y = \frac{2}{3} \pm x \), следуем следующим шагам:

1. Определение уравнения асимптот

Асимптоты гиперболы заданы в виде: \[ y = \frac{2}{3} + x \] \[ y = \frac{2}{3} - x \]

Из этого видно, что асимптоты имеют наклоны \(1\) и \(-1\).

2. Центр гиперболы

Поскольку асимптоты пересекаются в центре гиперболы, найдём центр. Среднее значение между точками пересечения \( x = 0 \) для обеих: \[ y = \frac{2}{3} \]

Таким образом, центр гиперболы — точка \( \left(0, \frac{2}{3}\right) \).

3. Стандартное уравнение для гиперболы

Гипербола с центром в \( (h, k) \) и осями, параллельными координатным, имеет уравнение: \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]

4. Подстановка центра

Поскольку центр \( (0, \frac{2}{3}) \), получаем: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(y - \frac{2}{3})^2}{b^2} = 1 \]

5. Подстановка асимптот

Асимптоты дают соотношение \(\frac{b}{a} = 1\), значит, \(a = b\).

6. Уравнение гиперболы

Теперь, подставляя, получаем: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(y - \frac{2}{3})^2}{a^2} = 1 \] или \[ x^2 - (y - \frac{2}{3})^2 = a^2 \]

7. Подстановка точки M

Подставим координаты точки \(M\left(\frac{9}{2}, -1\right)\): \[ \left(\frac{9}{2}\right)^2 - \left(-1 - \frac{2}{3}\right)^2 = a^2 \] \[ \frac{81}{4} - \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = a^2 \] \[ \frac{81}{4} - \frac{25}{9} = a^2 \]

8. Приведение к общему знаменателю

Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{81 \times 9}{36} - \frac{25 \times 4}{36} = a^2 \] \[ \frac{729 - 100}{36} = a^2 \] \[ \frac{629}{36} = a^2 \]

9. Итоговое уравнение гиперболы

Подставляем \(a^2 = \frac{629}{36}\) в уравнение: \[ x^2 - (y - \frac{2}{3})^2 = \frac{629}{36} \]

Таким образом, уравнение гиперболы: \[ 36x^2 - 36(y - \frac{2}{3})^2 = 629 \]