Реши

Чтобы составить уравнение эллипса, проходящего через заданную точку и имеющего эксцентриситет, следуем следующим шагам: ### Дано: 1. Точка \( M(2, -\frac{5}{3}) \). 2. Эксцентриситет \( \varepsilon = \frac{2}{3} \). ### Формула эллипса: Уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями \( a \) и \( b \) записывается как: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Эксцентриситет \( \varepsilon \) связан с полуосями следующей формулой: \[ \varepsilon = \frac{c}{a} \] где \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \). ### Найдем связь между \( a \), \( b \), и \( \varepsilon \): Из формулы эксцентриситета: \[ \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \] Подставим значение эксцентриситета \( \varepsilon = \frac{2}{3} \): \[ \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{2}{3} \] Решаем это уравнение: \[ \sqrt{a^2 - b^2} = \frac{2}{3}a \] Возведем обе части в квадрат: \[ a^2 - b^2 = \frac{4}{9}a^2 \] Отсюда: \[ b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 = \frac{5}{9}a^2 \] ### Применим условие прохождения через точку: Поскольку эллипс проходит через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \), подставим эти координаты в уравнение эллипса: \[ \frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1 \] Подставим \( b^2 = \frac{5}{9}a^2 \): \[ \frac{4}{a^2} + \frac{\frac{25}{9}}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \] Упростим: \[ \frac{4}{a^2} + \frac{25}{5a^2} = 1 \] \[ \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \] \[ \frac{9}{a^2} = 1 \] ### Решение: Отсюда находим \( a^2 = 9 \), значит \( a = 3 \). \( b^2 = \frac{5}{9} \times 9 = 5 \), значит \( b = \sqrt{5} \). ### Уравнение эллипса: Уравнение эллипса будет: \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \] Таким образом, уравнение эллипса, проходящего через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \) и имеющего эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{2}{3}\), равно: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \]