Реши
Чтобы составить уравнение эллипса, проходящего через заданную точку и имеющего эксцентриситет, следуем следующим шагам:
Дано:
- Точка \( M(2, -\frac{5}{3}) \).
- Эксцентриситет \( \varepsilon = \frac{2}{3} \).
Формула эллипса:
Уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями \( a \) и \( b \) записывается как:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Эксцентриситет \( \varepsilon \) связан с полуосями следующей формулой:
\[ \varepsilon = \frac{c}{a} \]
где \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \).
Найдем связь между \( a \), \( b \), и \( \varepsilon \):
Из формулы эксцентриситета:
\[ \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \]
Подставим значение эксцентриситета \( \varepsilon = \frac{2}{3} \):
\[ \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{2}{3} \]
Решаем это уравнение:
\[ \sqrt{a^2 - b^2} = \frac{2}{3}a \]
Возведем обе части в квадрат:
\[ a^2 - b^2 = \frac{4}{9}a^2 \]
Отсюда:
\[ b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 = \frac{5}{9}a^2 \]
Применим условие прохождения через точку:
Поскольку эллипс проходит через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \), подставим эти координаты в уравнение эллипса:
\[ \frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1 \]
Подставим \( b^2 = \frac{5}{9}a^2 \):
\[ \frac{4}{a^2} + \frac{\frac{25}{9}}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \]
Упростим:
\[ \frac{4}{a^2} + \frac{25}{5a^2} = 1 \]
\[ \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \]
\[ \frac{9}{a^2} = 1 \]
Решение:
Отсюда находим \( a^2 = 9 \), значит \( a = 3 \).
\( b^2 = \frac{5}{9} \times 9 = 5 \), значит \( b = \sqrt{5} \).
Уравнение эллипса:
Уравнение эллипса будет:
\[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \]
Таким образом, уравнение эллипса, проходящего через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \) и имеющего эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{2}{3}\), равно:
\[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \]
