решить задачу
Задача 21:
Дана функция \( y = f(x) \), касательная к этой функции в точке \( x_0 = 2 \). Требуется найти значение производной функции \( g(x) = 3f(x) - 2x + 1 \) в \( x_0 = 2 \).
Понимание задачи:
Нам нужно найти производную функции \( g(x) \) и её значение в точке \( x_0 = 2 \). Известно, что касательная к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x = 2 \) задаётся уравнением \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \).
Производная касательной:
Уравнение касательной \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \) имеет наклон \(-\frac{1}{2}\). Это и есть значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = 2 \), то есть \( f'(2) = -\frac{1}{2} \).
Производная функции \( g(x) \):
\[ g(x) = 3f(x) - 2x + 1 \]
Производная \( g(x) \):
\[ g'(x) = 3f'(x) - 2 \]
Подставляем известное значение \( f'(2) = -\frac{1}{2} \):
\[ g'(2) = 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2} \]
Таким образом, \( g'(2) = -\frac{7}{2} \).
Задача 22:
Дана функция \( y = f(x) \), касательная в точке \( x_0 \) имеет уравнение \( y = 3x - 5 \). Требуется найти значение функции \( g(x) = 7f(x) + \frac{1}{441} \) в точке \( x_0 \).
Понимание задачи:
Нам дано уравнение касательной \( y = 3x - 5 \), откуда наклон равен \( 3 \). Это и есть значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), \( f'(x_0) = 3 \). Однако в условии нужно найти значение функции, а не производной.
Функция \( g(x) \):
\[ g(x) = 7f(x) + \frac{1}{441} \]
Поскольку текста про производную или изменение значения не требуется, мы сосредоточимся на \( f(x) \) в точке \( x_0 \).
Из уравнения касательной: \[ f(x_0) = 3x_0 - 5 \]
Для получения полного значения \( g(x_0) \) необходимо подставить \( f(x_0) \):
\[ g(x_0) = 7(3x_0 - 5) + \frac{1}{441} \]
Значение \( x_0 \) в задачах не указано. Поэтому здесь можно описать процедуру не пытаясь вычислить точное значение без дополнительной информации.
Задача 23:
Дана функция \( y = f(x) \), а уравнение касательной в точке \( x = 1 \) — \( y = -0.4x + 2.7 \). Требуется найти значение функции \( g(x) = (0.6 - 0.1f(x))x^2 \) в точке \( x = 1 \).
Значение производной:
Из уравнения касательной видно, что её наклон равен \(-0.4\), значит \( f'(1) = -0.4 \).
Подстановки в функцию \( g(x) \):
\[ g(x) = (0.6 - 0.1f(x))x^2 \]
При \( x = 1 \):
\[ g(1) = (0.6 - 0.1f(1)) \cdot 1^2 \]
Из уравнения касательной в точке \( x = 1 \), получим \( f(1) = -0.4 \cdot 1 + 2.7 = 2.3 \).
Подставляем это в уравнение \( g(1) \):
\[ g(1) = (0.6 - 0.1 \cdot 2.3) = 0.6 - 0.23 = 0.37 \]
Таким образом, \( g(1) = 0.37 \).
