2. Полоску бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей? Запиши решение и ответ.

**Решение:** Давайте обозначим исходную длину полоски бумаги за 1 единицу длины. После первого разрезания на 9 частей, самая большая из них будет занимать \( \frac{1}{9} \) единицы длины. На каждом последующем шаге самую большую из полученных частей снова делят на 9 частей. Таким образом, на \( n \)-ом шаге самая большая часть будет занимать \( \left(\frac{1}{9}\right)^{n} \) от исходной длины. Пусть \( N \) - количество полученных частей после \( n \)-ого разрезания. Тогда суммарное количество частей можно представить как: \[ N = 9^n \] Нам нужно найти, можно ли получить 997 частей в конечном итоге. Попробуем представить 997 в виде степени 9: \[ 997 = 9^{n} \] Перебирая различные значения \( n \), мы видим, что нет целого положительного значения \( n \), дающего 997 в результате. Вот несколько примеров: - Если \( n = 3 \), \( 9^{3} = 729 \) - Если \( n = 4 \), \( 9^{4} = 6561 \) Таким образом, невозможно получить 997 частей, следовательно, в итоге не может получиться 997 частей. **Ответ:** Нет, в итоге нельзя получить 997 частей.