2. Полоску бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9…

Решение:

Давайте обозначим исходную длину полоски бумаги за 1 единицу длины. После первого разрезания на 9 частей, самая большая из них будет занимать \( \frac{1}{9} \) единицы длины.

На каждом последующем шаге самую большую из полученных частей снова делят на 9 частей. Таким образом, на \( n \)-ом шаге самая большая часть будет занимать \( \left(\frac{1}{9}\right)^{n} \) от исходной длины.

Пусть \( N \) - количество полученных частей после \( n \)-ого разрезания. Тогда суммарное количество частей можно представить как:

\[ N = 9^n \]

Нам нужно найти, можно ли получить 997 частей в конечном итоге. Попробуем представить 997 в виде степени 9:

\[ 997 = 9^{n} \]

Перебирая различные значения \( n \), мы видим, что нет целого положительного значения \( n \), дающего 997 в результате. Вот несколько примеров:

• Если \( n = 3 \), \( 9^{3} = 729 \)
• Если \( n = 4 \), \( 9^{4} = 6561 \)

Таким образом, невозможно получить 997 частей, следовательно, в итоге не может получиться 997 частей.

Ответ: Нет, в итоге нельзя получить 997 частей.