Объём куба ABCDA,B,C,D, равен 216. Точки К, М и Р - середины рёбер АВ, ВВ1, и ВС соответственно. Найдите объем пирамиды МКВР.

Для решения данной задачи, давайте разберемся по шагам.

1. Известные данные:

   • Объем куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) равен 216.
   • Точки \(K\), \(M\) и \(P\) - середины ребер \(AB\), \(B B_1\), \(BC\) соответственно.

2. Нахождение объема пирамиды МКВР:

   • Поскольку \(K\), \(M\) и \(P\) являются серединами соответствующих рёбер, то длины отрезков \(MK\), \(MP\) и \(MR\) будут равны половине длин соответствующих рёбер куба.

3. Рассмотрим длины отрезков:

   • Пусть сторона куба равна \(a\), тогда объем куба \(V_{\text{куба}} = a^3 = 216\).
   • Заметим, что длина отрезка \(MK\) равна \(\frac{a}{2}\), так как это половина длины ребра куба \(AB\).
   • То же самое относится к отрезкам \(MP\) и \(MR\), длины которых равны также \(\frac{a}{2}\).

4. Нахождение объема пирамиды:

   • Объем пирамиды можно найти по формуле: \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота.
   • В данном случае основанием пирамиды является треугольник \(KMR\), а высота будет равна \(MP\).

5. Рассчитаем площадь основания и высоту:

   • Треугольник \(KMR\) образован серединами рёбер куба, поэтому является равносторонним.
   • С учетом того, что длины сторон равны \(\frac{a}{2}\), площадь этого треугольника \(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{a}{2})^2\).
   • Зная, что высота пирамиды есть \(MP = \frac{a}{2}\), мы можем теперь рассчитать объем пирамиды.

6. Вычислим объем пирамиды:

   • Подставим найденные значения в формулу:
     \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3\).

7. Итак, ответ:

   • Таким образом, объем пирамиды \(MKVR\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3\), где \(a\) - сторона куба, в данном случае равная 6, в результате получаем \(V_{\text{пир}} = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot 216\), что равно \(9\sqrt{3}\).

Таким образом, объем пирамиды \(MKVR\) равен \(9\sqrt{3}\).