Известно, что точки пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и BC треугольника ABC находятся на стороне AC. Определить длину отрезков на которые точка D делит AC, если AC = 40 см."

**Решение:** Пусть E и F - середины сторон AB и BC соответственно, а точка D - точка пересечения серединных перпендикуляров. Поскольку E и F являются серединами, то AE = EB и CF = FB. Кроме того, из условия задачи мы знаем, что точка D также лежит на стороне AC. Таким образом, треугольник AED является прямоугольным, потому что DE - серединный перпендикуляр к стороне AB. Аналогично, треугольник CFD является прямоугольным из-за CF - серединного перпендикуляра к стороне BC. Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников, связанное с пропорциями длин отрезков в прямоугольных треугольниках. Поскольку D - точка пересечения серединных перпендикуляров, отношение CD к FD равно 1:2, а отношение AD к ED также равно 1:2. Давайте теперь найдем длину отрезков AD и CD. Поскольку CD:FD = 1:2, и CD + FD = AC, то CD = 1/3 * AC = 1/3 * 40 см = 13 1/3 см. Аналогично, AD = 1/3 * AC = 13 1/3 см. Таким образом, точка D делит отрезок AC на две равные части длиной 13 1/3 см каждая.