Построение треугольника по трём элементам Доказательство 37. Расстояние от точки до прямой. Рассмотрим паралл Отметим на прямой а точ точки перпендикуляр А Докажем, что расстояи мой а до прямой рав Расстояние между параллельными прямыми Расстоянием между двумя точками мы назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём понятие расстояния от точки до прямой. Проведём из то к прямой b. Так как угольные треугольни гипотенузе и острому нуза, а углы 1 и 2 углы при пересечени b секущей AY). Сле Пусть отрезок АН - перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М - любая точка прямой а, отличная от Н (рис. 142). Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а, а отрезок НМ - проекцией наклонной. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Отредок AM наклонная к прма Отрезок Hм проекция наклонной Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой. На рисунке 143 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см. Введём теперь понятие расстояния между параллельными прямыми. Предварительно рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых. Рис. 143 Теорема Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Доказательство Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой а точку А и проведём из этой точки перпендикуляр АВ к прямой b (рис. 144). Докажем, что расстояние от любой точки Х прямой а до прямой b равно АВ. Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY Lb, то XYLa. Прямоугольные треугольники ABY и YXА равны по гипотенузе и острому углу (AY - общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей AY). Следовательно, XY = AB. B Рис. 144 Итак, любая точка Х прямой а находится на расстоянии АВ от прямой b. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана. 81 Соотношения между сторонами и углами треугольника Из докааанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной на параллельных прямых, всё премя находится на одном и том же расстоянии от другой прямой. Множество всех точек какому-либо условию, иног метрическим местом точек этому условию. Можно сказ геометрическое место точек щихся на данном расстояни и лежащих по одну сторону параллельная данной прямой Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстояннем между этими прямыми. На этом факте основ струмента, называемого рей Рейсмус используется в стол метки на поверхности дере мой, параллельной краю бру нии рейсмуса вдоль края б игла прочерчивает отрезок ный краю бруска (рис. 145, Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой. Замечание 1 Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.) 38. Построение треуг по трём элемента Замечание 2 Задача 1 Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. Построить треугольни углу между ними. Решение B самом деле, пусть a - данная прямая, d - данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую b, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок). По доказанной теореме все точки прямой b находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой b. Таким образом, искомым множеством является прямая b. Прежде всего уточн мать эту задачу, т. е. что з построить. Даны отрезки P,Q (рис. 146, а). Требуется с линейки (без масштабных кой треугольник АВС, у скажем АВ и АС, равны и Р_Q2, а угол А между данному углу hk. Проведём прямую циркуля отложим отрезо P.Q, (рис. 146, б). Затем равный данному углу hk знаем). На луче АМ отл 82 Глава IV какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. a) жду парал- пему из рас- очек другой На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 145, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 145, б). Рис. 145 мини конспект