Задача 4
Давайте разберем задачу.
Нам нужно найти количество натуральных чисел \( X \), для которых истинно следующее высказывание:
\[ \neg (X > 60) \land (X \text{ чётное}) \lor (X \text{ кратно 7}). \]
Разберем этот логический оператор по частям:
- \(\neg (X > 60)\) означает, что \( X \) должно быть меньше или равно 60.
- \(X \text{ чётное}\) означает, что \( X \) делится на 2 без остатка.
- \(X \text{ кратно 7}\) означает, что \( X \) делится на 7 без остатка.
Теперь объединим условия:
- Нужно, чтобы \(\neg (X > 60) \land (X \text{ чётное})\) или \(X \text{ кратно 7}\).
Определим множество подходящих \( X \):
\(\neg (X > 60) \land (X \text{ чётное})\):
- \( X \leq 60 \)
- \( X \text{ чётное} \)
Чётные числа от 1 до 60: 2, 4, 6, ..., 60.
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 2\), шагом \(d = 2\) и последним членом \(a_n = 60\).
Чтобы найти, сколько элементов в этой прогрессии, используем формулу: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Подставим значения: \[ 60 = 2 + (n-1) \cdot 2 \] \[ 60 = 2 + 2n - 2 \] \[ 60 = 2n \] \[ n = 30 \]
Значит, 30 чётных чисел от 1 до 60.
\(X \text{ кратно 7}\):
Числа, кратные 7 и не превышающие 60: 7, 14, 21, ..., 56.
Это тоже арифметическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 7\), шагом \(b = 7\) и последним членом \(b_m \leq 60\).
\[ b_m = 7 + (m-1) \cdot 7 \leq 60 \] \[ 7m \leq 60 \] \[ m \leq \frac{60}{7} \] \[ m \leq 8.57 \]
Целое число \(m = 8\).
Значит, 8 чисел, кратных 7.
Объединим множества:
Так как нас интересуют числа, которые соответствуют первому или второму условию, но не двойному учёту, вычтем числа, которые одновременно чётные и кратные 7. Это числа кратные 14: 14, 28, 42, 56.
Счёт: 4 таких числа.
Общее количество:
\[ 30 + 8 - 4 = 34 \]
Значит, количество таких чисел \(X = 34\).
