Задача 4

Давайте разберем задачу. Нам нужно найти количество натуральных чисел \( X \), для которых истинно следующее высказывание: \[ \neg (X > 60) \land (X \text{ чётное}) \lor (X \text{ кратно 7}). \] Разберем этот логический оператор по частям: 1. \(\neg (X > 60)\) означает, что \( X \) должно быть меньше или равно 60. 2. \(X \text{ чётное}\) означает, что \( X \) делится на 2 без остатка. 3. \(X \text{ кратно 7}\) означает, что \( X \) делится на 7 без остатка. Теперь объединим условия: - Нужно, чтобы \(\neg (X > 60) \land (X \text{ чётное})\) или \(X \text{ кратно 7}\). **Определим множество подходящих \( X \):** 1. \(\neg (X > 60) \land (X \text{ чётное})\): - \( X \leq 60 \) - \( X \text{ чётное} \) Чётные числа от 1 до 60: 2, 4, 6, ..., 60. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 2\), шагом \(d = 2\) и последним членом \(a_n = 60\). Чтобы найти, сколько элементов в этой прогрессии, используем формулу: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Подставим значения: \[ 60 = 2 + (n-1) \cdot 2 \] \[ 60 = 2 + 2n - 2 \] \[ 60 = 2n \] \[ n = 30 \] Значит, 30 чётных чисел от 1 до 60. 2. \(X \text{ кратно 7}\): Числа, кратные 7 и не превышающие 60: 7, 14, 21, ..., 56. Это тоже арифметическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 7\), шагом \(b = 7\) и последним членом \(b_m \leq 60\). \[ b_m = 7 + (m-1) \cdot 7 \leq 60 \] \[ 7m \leq 60 \] \[ m \leq \frac{60}{7} \] \[ m \leq 8.57 \] Целое число \(m = 8\). Значит, 8 чисел, кратных 7. **Объединим множества:** Так как нас интересуют числа, которые соответствуют первому или второму условию, но не двойному учёту, вычтем числа, которые одновременно чётные и кратные 7. Это числа кратные 14: 14, 28, 42, 56. Счёт: 4 таких числа. **Общее количество:** \[ 30 + 8 - 4 = 34 \] Значит, количество таких чисел \(X = 34\).