Задача 6

Чтобы решить эту задачу, нужно определить количество двузначных натуральных чисел \( X \), для которых неверно утверждение:

\[ (X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50) \text{ ИЛИ } (X \text{ кратно 3}) \]

Для начала, давайте разберемся с каждым компонентом выражения:

1. Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99.

2. Условие: \((X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50)\):

   • Здесь важно понять, что это на самом деле означает: \(X \geq 25\) и \(X \leq 50\).
   • Таким образом, это числа от 25 до 50 (включительно).

3. Условие: \(X \text{ кратно 3}\):

   • Это числа, которые делятся на 3 без остатка, например, 12, 15, 18, и так далее.

Теперь перейдем к анализу основного выражения:

• \((X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50)\) — это высказывание истинно для чисел от 25 до 50.
• Слово "ИЛИ" здесь означает, что хотя бы одно из условий должно быть истинным для основного выражения стать истинным.

Нам нужно найти, для каких чисел это высказывание ложно.

Пройдемся по шагам:

1. Найдите числа от 25 до 50, кратные 3.
2. Найдите все двузначные числа, кратные 3.
3. Определите числа, для которых выполняется хотя бы одно из условий.
4. Определите числа в диапазоне от 10 до 99, для которых условие ложно.

Решение:

1. Числа от 25 до 50: \[ 25, 26, 27, \ldots, 50 \] Кратные 3: \[ 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 \]

2. Числа от 10 до 99, кратные 3: \[ 12, 15, 18, 21, \ldots, 99 \]

3. Числа, для которых условие истинно:

   • Это все числа от 25 до 50, а также все числа, кратные 3.

4. Числа, для которых условие ложно:

   • Это те двузначные числа, которые не попадают в вышеупомянутые категории.

Теперь проведем вычисления:

• Числа от 10 до 99 всего: 90 чисел.
• Числа от 25 до 50: 26 чисел.
• Числа, кратные 3 (10-99): \(\left\lfloor \frac{99}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{9}{3} \right\rfloor = 33\) чисел.

Используя формулу включения-исключения, исключим числа, которые одновременно в диапазоне от 25 до 50 и кратны 3: 8 чисел.

Общее количество чисел, которые не удовлетворяют условию: \[ 90 - ((26 - 8) + 33) = 90 - 51 = 39 \]

Таким образом, количество двузначных натуральных чисел, для которых высказывание ложно, составляет 39 чисел.