Задача 6

Чтобы решить эту задачу, нужно определить количество двузначных натуральных чисел \( X \), для которых неверно утверждение: \[ (X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50) \text{ ИЛИ } (X \text{ кратно 3}) \] Для начала, давайте разберемся с каждым компонентом выражения: 1. **Двузначные натуральные числа** — это числа от 10 до 99. 2. Условие: \((X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50)\): - Здесь важно понять, что это на самом деле означает: \(X \geq 25\) и \(X \leq 50\). - Таким образом, это числа от 25 до 50 (включительно). 3. Условие: \(X \text{ кратно 3}\): - Это числа, которые делятся на 3 без остатка, например, 12, 15, 18, и так далее. Теперь перейдем к анализу основного выражения: - \((X \geq 25) \text{ И НЕ } (X > 50)\) — это высказывание истинно для чисел от 25 до 50. - Слово "ИЛИ" здесь означает, что хотя бы одно из условий должно быть истинным для основного выражения стать истинным. Нам нужно найти, для каких чисел это высказывание **ложно**. Пройдемся по шагам: 1. Найдите числа от 25 до 50, кратные 3. 2. Найдите все двузначные числа, кратные 3. 3. Определите числа, для которых выполняется хотя бы одно из условий. 4. Определите числа в диапазоне от 10 до 99, для которых условие ложно. **Решение:** 1. **Числа от 25 до 50:** \[ 25, 26, 27, \ldots, 50 \] **Кратные 3:** \[ 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 \] 2. **Числа от 10 до 99, кратные 3:** \[ 12, 15, 18, 21, \ldots, 99 \] 3. **Числа, для которых условие истинно:** - Это все числа от 25 до 50, а также все числа, кратные 3. 4. **Числа, для которых условие ложно:** - Это те двузначные числа, которые не попадают в вышеупомянутые категории. Теперь проведем вычисления: - Числа от 10 до 99 всего: 90 чисел. - Числа от 25 до 50: 26 чисел. - Числа, кратные 3 (10-99): \(\left\lfloor \frac{99}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{9}{3} \right\rfloor = 33\) чисел. Используя формулу включения-исключения, исключим числа, которые одновременно в диапазоне от 25 до 50 и кратны 3: 8 чисел. Общее количество чисел, которые не удовлетворяют условию: \[ 90 - ((26 - 8) + 33) = 90 - 51 = 39 \] Таким образом, количество двузначных натуральных чисел, для которых высказывание ложно, составляет 39 чисел.