сделай

Давайте рассмотрим данный ряд:

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n} \]

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член \( a = \frac{1}{2} \) и знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \).

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это ряд, в котором каждый следующий член получается умножением предыдущего на один и тот же множитель (в данном случае — на \(\frac{1}{2}\)).

Общий член прогрессии

Общий член (n-й член) геометрической прогрессии можно записать как:

\[ a_n = a \cdot q^{n-1} \]

Для нашего ряда:

\[ a_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^n} \]

Сходимость ряда

Необходимое и достаточное условие сходимости бесконечной геометрической прогрессии: модуль знаменателя должен быть меньше 1 (\(|q| < 1\)).

В нашем случае \( q = \frac{1}{2} \), и действительно \(|\frac{1}{2}| < 1\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Для бесконечной геометрической прогрессии с \(|q| < 1\) сумма \( S \) находится по формуле:

\[ S = \frac{a}{1 - q} \]

Подставим наши значения:

\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \]

Ответ

Таким образом, данный ряд является сходящейся геометрической прогрессией, и его сумма равна 1.