Коала
Для решения задачи №20, где необходимо решить систему неравенств:
Первое неравенство: \[ \frac{14 - 7x}{2 - 5x} \geq 2 \]
a. Приведём правую часть к общему знаменателю: \[ 2 = \frac{4 - 10x}{2 - 5x} \]
b. Получаем: \[ \frac{14 - 7x}{2 - 5x} - \frac{4 - 10x}{2 - 5x} \geq 0 \]
c. Объединяем дроби: \[ \frac{(14 - 7x) - (4 - 10x)}{2 - 5x} \geq 0 \]
d. Упрощаем числитель: \[ \frac{14 - 7x - 4 + 10x}{2 - 5x} = \frac{10 + 3x}{2 - 5x} \geq 0 \]
e. Значение дроби зависит от знаков числителя и знаменателя:
- Числитель \(10 + 3x \geq 0\) при \(x \geq -\frac{10}{3}\)
- Знаменатель \(2 - 5x > 0\) при \(x < \frac{2}{5}\)
f. Решаем для всех значений, где дробь положительна: \[ -\frac{10}{3} \leq x < \frac{2}{5} \]
Второе неравенство: \[ \frac{6}{2x + 3} \leq 4 \]
a. Приведём правую часть к общему знаменателю: \[ 4 = \frac{8x + 12}{2x + 3} \]
b. Приведем неравенство к общему знаменателю: \[ \frac{6 - (8x + 12)}{2x + 3} \leq 0 \]
c. Упрощаем числитель: \[ \frac{-8x - 6}{2x + 3} \leq 0 \]
d. Анализируем знаки:
- Числитель \(-8x - 6 \leq 0\) при \(x \geq -\frac{3}{4}\)
- Знаменатель \(2x + 3 > 0\) при \(x > -\frac{3}{2}\)
e. Подходим к значению, где дробь отрицательна или равна нулю: \[ -\frac{3}{2} < x \leq -\frac{3}{4} \]
Совместное решение: Комбинируем интервалы обеих неравенств:
- Общее решение: сочетание \(x \in \left[-\frac{10}{3}, \frac{2}{5}\right)\) и \(x \in \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}\right]\) не имеет общих значений, следовательно, решения нет.
Таким образом, система неравенств не имеет решений.
