Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время равна 0,8 узлы выходят из строя независимо от друг друга. Найдите вероятность того что…

Решение:

Для решения данной задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть набор независимых событий (отказ узла), каждое из которых имеет одинаковую вероятность.

Известно, что вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8, а значит вероятность отказа одного узла за время t равна 0,2.

Пусть X - количество отказавших узлов из 10 за время t. Тогда X имеет биномиальное распределение со следующими параметрами:

• n = 10 (общее количество узлов)
• p = 0,2 (вероятность отказа одного узла за время t)
• k = 4 (количество отказавших узлов, которое мы хотим найти)

Формула для биномиального распределения: \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где \( C_n^k \) - количество сочетаний из n по k (число способов выбрать k узлов из n), для нашего случая это будет \( C_{10}^4 \).

Рассчитаем вероятность того, что за время t откажут 4 узла: \[ P(X = 4) = C_{10}^4 \cdot 0.2^4 \cdot 0.8^6 \]

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = 210 \]

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.2^4 \cdot 0.8^6 \]

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 \]

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.000262144 \]

\[ P(X = 4) = 0.05518 \]

Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 4 узла, составляет примерно 0.05518 или около 5.52%.