Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии, который гласит, что количество теплоты, отданное чаем, должно быть равно количеству теплоты, полученному холодной водой, если потерями энергии в окружающую среду можно пренебречь.
Обозначим:
- ( m_{\text{чая}} ) — масса чая
- ( m_{\text{воды}} ) — масса холодной воды
- ( c ) — удельная теплоёмкость воды и чая (4200 Дж/(кг·°С))
- ( T_{\text{чая нач}} = 100°С ) — начальная температура чая
- ( T_{\text{воды нач}} = 10°С ) — начальная температура холодной воды
- ( T_{\text{кон}} = 90°С ) — конечная температура смеси
- Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Количество теплоты, отданное чаем:
[
Q_{\text{чая}} = m_{\text{чая}} \cdot c \cdot (T_{\text{чая нач}} - T_{\text{кон}}) = m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot (100 - 90)
]
Количество теплоты, полученное водой:
[
Q_{\text{воды}} = m_{\text{воды}} \cdot c \cdot (T_{\text{кон}} - T_{\text{воды нач}}) = m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot (90 - 10)
]
Отношение:
[
\frac{Q_{\text{чая}}}{Q_{\text{воды}}} = \frac{m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot 10}{m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot 80} = \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} \cdot \frac{10}{80} = \frac{m_{\text{чая}}}{8 \cdot m_{\text{воды}}}
]
- Отношение массы чая к массе долитой воды.
Из закона сохранения энергии:
[
m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot 10 = m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot 80
]
[
m_{\text{чая}} \cdot 10 = m_{\text{воды}} \cdot 80
]
[
\frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} = \frac{80}{10} = 8
]
- Температура после добавления ещё порции холодной воды.
Теперь в системе новая масса воды, равная ( 2m_{\text{воды}} ), масса чая остаётся ( m_{\text{чая}} ). Температура второй порции воды также 10°С.
Новое тепловое равновесие:
[
m_{\text{чая}} \cdot c \cdot (T_1 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot c \cdot (T_2 - T_{\text{воды нач}})
]
Где ( T_1 = 90°С ) (температура после первой порции воды), ( T_{\text{воды нач}} = 10°C ).
[
m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot (90 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot (T_2 - 10)
]
Поделим уравнение на 4200 и упростим:
[
m_{\text{чая}} \cdot (90 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 10)
]
Подставим найденное отношение ( \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} = 8 ):
[
8 \cdot m_{\text{воды}} \cdot (90 - T_2) = 2 \cdot m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 10)
]
Сократим на ( m_{\text{воды}} ):
[
8 \cdot (90 - T_2) = 2 \cdot (T_2 - 10)
]
Раскроем скобки:
[
720 - 8T_2 = 2T_2 - 20
]
Решим уравнение относительно ( T_2 ):
[
720 + 20 = 2T_2 + 8T_2
]
[
740 = 10T_2
]
[
T_2 = 74°
]
Таким образом, новая температура после добавления второй порции составляет 74°C.
