Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг- °C). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии, который гласит, что количество теплоты, отданное чаем, должно быть равно количеству теплоты, полученному холодной водой, если потерями энергии в окружающую среду можно пренебречь.
Обозначим:
- \( m_{\text{чая}} \) — масса чая
- \( m_{\text{воды}} \) — масса холодной воды
- \( c \) — удельная теплоёмкость воды и чая (4200 Дж/(кг·°С))
- \( T_{\text{чая нач}} = 100°С \) — начальная температура чая
- \( T_{\text{воды нач}} = 10°С \) — начальная температура холодной воды
- \( T_{\text{кон}} = 90°С \) — конечная температура смеси
- Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Количество теплоты, отданное чаем: \[ Q_{\text{чая}} = m_{\text{чая}} \cdot c \cdot (T_{\text{чая нач}} - T_{\text{кон}}) = m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot (100 - 90) \]
Количество теплоты, полученное водой: \[ Q_{\text{воды}} = m_{\text{воды}} \cdot c \cdot (T_{\text{кон}} - T_{\text{воды нач}}) = m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot (90 - 10) \]
Отношение: \[ \frac{Q_{\text{чая}}}{Q_{\text{воды}}} = \frac{m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot 10}{m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot 80} = \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} \cdot \frac{10}{80} = \frac{m_{\text{чая}}}{8 \cdot m_{\text{воды}}} \]
- Отношение массы чая к массе долитой воды.
Из закона сохранения энергии: \[ m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot 10 = m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot 80 \] \[ m_{\text{чая}} \cdot 10 = m_{\text{воды}} \cdot 80 \] \[ \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} = \frac{80}{10} = 8 \]
- Температура после добавления ещё порции холодной воды.
Теперь в системе новая масса воды, равная \( 2m_{\text{воды}} \), масса чая остаётся \( m_{\text{чая}} \). Температура второй порции воды также 10°С.
Новое тепловое равновесие: \[ m_{\text{чая}} \cdot c \cdot (T_1 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot c \cdot (T_2 - T_{\text{воды нач}}) \]
Где \( T_1 = 90°С \) (температура после первой порции воды), \( T_{\text{воды нач}} = 10°C \).
\[ m_{\text{чая}} \cdot 4200 \cdot (90 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot 4200 \cdot (T_2 - 10) \]
Поделим уравнение на 4200 и упростим:
\[ m_{\text{чая}} \cdot (90 - T_2) = 2m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 10) \]
Подставим найденное отношение \( \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} = 8 \):
\[ 8 \cdot m_{\text{воды}} \cdot (90 - T_2) = 2 \cdot m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 10) \]
Сократим на \( m_{\text{воды}} \):
\[ 8 \cdot (90 - T_2) = 2 \cdot (T_2 - 10) \]
Раскроем скобки: \[ 720 - 8T_2 = 2T_2 - 20 \]
Решим уравнение относительно \( T_2 \):
\[ 720 + 20 = 2T_2 + 8T_2 \] \[ 740 = 10T_2 \] \[ T_2 = 74° \]
Таким образом, новая температура после добавления второй порции составляет 74°C.
