Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг- °C). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законом сохранения энергии, так как при установлении теплового равновесия количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученному водой.
- Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой:
Количество теплоты, отданное чаем, \( Q_{\text{чай}} \) равно:
\[ Q_{\text{чай}} = c \cdot m_{\text{чай}} \cdot (T_{\text{нач}} - T_{\text{кон}}) = 4200 \cdot m_{\text{чай}} \cdot (100 - 90) = 4200 \cdot m_{\text{чай}} \cdot 10 \]
Количество теплоты, полученного водой, \( Q_{\text{вода}} \) равно:
\[ Q_{\text{вода}} = c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{кон}} - T_{\text{нач, вода}}) = 4200 \cdot m_{\text{вода}} \cdot (90 - 10) = 4200 \cdot m_{\text{вода}} \cdot 80 \]
Отношение:
\[ \frac{Q_{\text{чай}}}{Q_{\text{вода}}} = \frac{4200 \cdot m_{\text{чай}} \cdot 10}{4200 \cdot m_{\text{вода}} \cdot 80} = \frac{m_{\text{чай}}}{m_{\text{вода}}} \cdot \frac{10}{80} = \frac{m_{\text{чай}}}{m_{\text{вода}}} \cdot \frac{1}{8} \]
- Отношение массы чая к массе долитой воды:
Так как \( Q_{\text{чай}} = Q_{\text{вода}} \), приравниваем и упрощаем:
\[ m_{\text{чай}} \cdot 10 = m_{\text{вода}} \cdot 80 \]
\[ \frac{m_{\text{чай}}}{m_{\text{вода}}} = \frac{80}{10} = 8 \]
- Температура чая после добавления ещё одной порции холодной воды:
Обозначим массу второй порции воды как \( m_{\text{вода}}' = m_{\text{вода}} \).
Второе тепловое равновесие:
- Начальная температура смеси: 90 °C.
- Температура новой порции воды: 10 °C.
- Пусть конечная температура смеси: \( T_{\text{нов}} \).
Количество теплоты отданного чаем с водой:
\[ Q_{\text{смесь}} = c \cdot (m_{\text{чай}} + m_{\text{вода}}) \cdot (90 - T_{\text{нов}}) \]
Количество теплоты, полученного новой водой:
\[ Q_{\text{вода нов}} = c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нов}} - 10) \]
Приравниваем и решаем:
\[ (m_{\text{чай}} + m_{\text{вода}}) \cdot (90 - T_{\text{нов}}) = m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нов}} - 10) \]
Подставляем \( m_{\text{чай}} = 8m_{\text{вода}} \):
\[ (8m_{\text{вода}} + m_{\text{вода}}) \cdot (90 - T_{\text{нов}}) = m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нов}} - 10) \]
\[ 9(90 - T_{\text{нов}}) = T_{\text{нов}} - 10 \]
\[ 810 - 9T_{\text{нов}} = T_{\text{нов}} - 10 \]
\[ 810 + 10 = 10T_{\text{нов}} \]
\[ 820 = 10T_{\text{нов}} \]
\[ T_{\text{нов}} = 82 \,^\circ\text{C} \]
Таким образом, температура чая после добавления второй порции холодной воды составит 82 °C.
