Решение:
Дано: углы треугольника $ABC$ относятся как $∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3$
Пусть $∠A = x$, $∠B = 2x$, $∠C = 3x$
Так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, то $x + 2x + 3x = 180$
Решаем уравнение: $6x = 180$
$x = 30$
Теперь найдем углы треугольника $ABC$:
$∠A = 30^{\circ}$
$∠B = 230 = 60^{\circ}$
$∠C = 330 = 90^{\circ}$
Так как биссектриса $BM$ треугольника $ABC$ делит угол $A$ на два равных угла, то $∠ABM = x = 30^{\circ}$
По теореме синусов в треугольнике $ABM$:
$\frac{BM}{\sin 60^{\circ}} = \frac{12}{\sin 30^{\circ}}$
$BM = \frac{12\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$BM = 12\sqrt{3}$
Теперь найдем отрезок $MC$. Треугольник $CMC'$ - прямоугольный, где $C'$ - точка на продолжении стороны $AB$, такая что $BC' \perp AC$.
Теперь с помощью тригонометрии найдем длину отрезка $MC$:
$\sin 30^{\circ} = \frac{CM}{BC'}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{MC}{BM}$
$MC = BM \sin 30^{\circ} = 12\sqrt{3} * \frac{1}{2} = 6\sqrt{3}$
Ответ: Длина отрезка $MC$ равна $6\sqrt{3}$.
