Для начала определим третий угол треугольника. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°, следовательно, третий угол равен 80° (180° - 20° - 80° = 80°).
Угол между биссектрисой и высотой треугольника равен половине суммы вертикальных углов, образованных биссектрисой и высотой из вершины третьего угла. Так как биссектриса делит третий угол на два равных угла, то угол между биссектрисой и высотой равен 40° (половина 80°).
Теперь найдем длину биссектрисы треугольника. Для этого воспользуемся формулой биссектрисы треугольника:
[ \text{Длина биссектрисы} = \frac{2ab\cos(\frac{A}{2})}{a+b}, ]
где:
- ( a ) и ( b ) - стороны треугольника, соединяемые биссектрисой,
- ( A ) - угол между этими сторонами.
Заметим, что стороны, соединяемые биссектрисой, равны, так как треугольник равнобедренный (с углами 20° и 80°). Обозначим длину стороны треугольника как ( x ).
Тогда для заданного равнобедренного треугольника:
[ \text{Длина биссектрисы} = \frac{2x\cdot x\cdot \cos(40°)}{x+x} = \frac{2x^2\cdot \cos(40°)}{2x} = x\cos(40°). ]
Дано, что расстояние между основаниями высоты и биссектрисы равно 1 см, что равно длине биссектрисы. Таким образом, ( x\cos(40°) = 1 ), откуда ( x = \frac{1}{\cos(40°)} ).
Используя тригонометрические вычисления, ( x \approx 1.33 ) см. Таким образом, длина биссектрисы треугольника равна примерно 1.33 см.
