задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число…

Для решения этой задачи, давайте следовать следующим шагам:

1. Пусть искомое трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15, имеет вид \( ABC \), где \( A \), \( B \) и \( C \) - цифры нашего числа.

2. Поскольку число делится на 15, то оно также делится на 3 и 5. Поскольку число меньше 500, значит, \( A \) не равно 0.

3. Так как \( ABC \) делится на 15, сумма цифр этого числа делится на 3 (и на 5). Следовательно, \( A + B + C \) делится на 3.

4. Теперь нам нужно найти такое трёхзначное число \( ABC \), в котором поменяны места цифр в разрядах десятков и единиц. Это число будет иметь вид \( ACB \).

5. Разность задуманного числа и полученного при помене мест цифр числа равна 54. Математически это можно записать как \( 100A + 10B + C - (100A + 10C + B) = 54 \).

6. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \( 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 54 \).

   Получаем: \( 9B - 9C = 54 \) или \( B - C = 6 \).

7. Теперь мы знаем, что разность между цифрой десятков и единиц равна 6. Найдем такие цифры \( B \) и \( C \), чтобы их разность была 6. Подходят значения \( B = 7 \) и \( C = 1 \).

8. Итак, у нас число \( ABC = 471 \). Проверим, что это число соответствует всем условиям задачи:

   • \( 471 < 500 \)
   • \( 471 \) делится на 15 (т.к. 15 * 31 = 471)
   • При обмене местами цифр десятков и единиц получаем число 147. Вычитая 147 из 471, мы получаем 324, что равно 54.

Таким образом, задуманное трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15, это \( 471 \).