Дано: (\sqrt{\frac{5 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}} - \sqrt{7})
Чтобы упростить это выражение, давайте общие стратегии для работы с корнями. В данном случае, для избавления от корней в знаменателе мы можем умножить выражение на сопряженное выражение:
Сопряженное выражение для ((3 - \sqrt{7})) - это ((3 + \sqrt{7})).
Применяем этот метод:
(\sqrt{\frac{5 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} - \sqrt{7})
Теперь умножаем числитель и знаменатель на (3 + \sqrt{7}):
(\sqrt{\frac{(5 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}} - \sqrt{7})
Раскрываем скобки в числителе и знаменателе:
(\sqrt{\frac{15 + 5\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 7}{9 - 7}} - \sqrt{7})
(\sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{7}}{2}} - \sqrt{7})
(\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{7})
Теперь заметим, что (\sqrt{4} = 2), следовательно:
(2 + \sqrt{7} - \sqrt{7})
(2)
Итак, ответ на задачу равен (2).
