Для начала определим, что при смешении кофе и воды будет установлено тепловое равновесие, что означает равенство тепловой энергии в системе. Мы можем использовать закон сохранения энергии тепловых процессов для решения этой задачи.
Известно, что удельные теплоемкости для воды и кофе одинаковые. Обозначим массу кофе как (m_{co}), массу воды как (m_{v}), и начальную температуру кофе и воды как (T_{co}) и (T_{v}) соответственно.
Сначала определим количество теплоты, которое перейдет от кофе к воде. Поскольку система теряет теплоту без потерь, то это количество теплоты равно количеству теплоты, которое получит вода.
Мы знаем, что количество теплоты (Q) для изменения температуры вещества можно рассчитать по формуле:
[Q = mc\Delta T]
где (m) - масса вещества, (c) - удельная теплоемкость вещества, (\Delta T) - изменение температуры.
Так как начальная температура воды (T_{v} = 0) °C, а исходная температура горячего кофе (T_{co} = 90) °C, то изменение температуры для кофе будет (\Delta T_{co} = T_{co} - T_{f} = 90 - T_{f}) и для воды будет (\Delta T_{v} = T_{f} - T_{v} = T_{f}), где (T_{f}) - конечная температура смеси.
Поскольку удельные теплоемкости у кофе и воды одинаковые, обозначим их как (c_{co} = c_{v} = c).
Теперь можем записать уравнение, учитывая, что количество теплоты, которое потеряет кофе, равно количеству теплоты, которое получит вода:
[m_{co}c(T_{co} - T_{f}) = m_{v}c(T_{f} - T_{v})]
Подставляя известные значения:
[m_{co} \cdot 1 \cdot (90 - T_{f}) = m_{v} \cdot 1 \cdot (T_{f} - 0)]
[90m_{co} - m_{co}T_{f} = m_{v}T_{f}]
[90m_{co} = (m_{v} + m_{co})T_{f}]
[T_{f} = \frac{90m_{co}}{m_{v} + m_{co}}]
Так как кофе и вода смешиваются в отношении 1:1, то (m_{v} = m_{co}), из чего следует:
[T_{f} = \frac{90m_{co}}{2m_{co}} = 45]
Итак, температура напитка после установления теплового равновесия составит 45 °C.
