Денис не любит пить крепкий горячий кофе, поэтому он всегда разбавляет кофе очень холодной водой в отношении 1:1 (например, к 150 г кофе добавляет 150 г воды). Определите, какой…
Денис не любит пить крепкий горячий кофе, поэтому он всегда разбавляет кофе очень холодной водой в отношении 1:1 (например, к 150 г кофе добавляет 150 г воды). Определите, какой станет температура напитка после установления теплового равновесия между кофе и долитой водой, если начальная температура воды 0 °С, а исходная температура горячего кофе +90 °С. Удельные теплоёмкости воды и кофе одинаковые. Смешивание происходит быстро, поэтому потерями теплоты можно пренебречь. Ответ: °C.
Для начала определим, что при смешении кофе и воды будет установлено тепловое равновесие, что означает равенство тепловой энергии в системе. Мы можем использовать закон сохранения энергии тепловых процессов для решения этой задачи.
Известно, что удельные теплоемкости для воды и кофе одинаковые. Обозначим массу кофе как \(m_{co}\), массу воды как \(m_{v}\), и начальную температуру кофе и воды как \(T_{co}\) и \(T_{v}\) соответственно.
Сначала определим количество теплоты, которое перейдет от кофе к воде. Поскольку система теряет теплоту без потерь, то это количество теплоты равно количеству теплоты, которое получит вода.
Мы знаем, что количество теплоты \(Q\) для изменения температуры вещества можно рассчитать по формуле:
\[Q = mc\Delta T\]
где \(m\) - масса вещества, \(c\) - удельная теплоемкость вещества, \(\Delta T\) - изменение температуры.
Так как начальная температура воды \(T_{v} = 0\) °C, а исходная температура горячего кофе \(T_{co} = 90\) °C, то изменение температуры для кофе будет \(\Delta T_{co} = T_{co} - T_{f} = 90 - T_{f}\) и для воды будет \(\Delta T_{v} = T_{f} - T_{v} = T_{f}\), где \(T_{f}\) - конечная температура смеси.
Поскольку удельные теплоемкости у кофе и воды одинаковые, обозначим их как \(c_{co} = c_{v} = c\).
Теперь можем записать уравнение, учитывая, что количество теплоты, которое потеряет кофе, равно количеству теплоты, которое получит вода:
\[m_{co}c(T_{co} - T_{f}) = m_{v}c(T_{f} - T_{v})\]
Подставляя известные значения:
\[m_{co} \cdot 1 \cdot (90 - T_{f}) = m_{v} \cdot 1 \cdot (T_{f} - 0)\]
\[90m_{co} - m_{co}T_{f} = m_{v}T_{f}\]
\[90m_{co} = (m_{v} + m_{co})T_{f}\]
\[T_{f} = \frac{90m_{co}}{m_{v} + m_{co}}\]
Так как кофе и вода смешиваются в отношении 1:1, то \(m_{v} = m_{co}\), из чего следует:
\[T_{f} = \frac{90m_{co}}{2m_{co}} = 45\]
Итак, температура напитка после установления теплового равновесия составит 45 °C.
