Дано, что сумма двух натуральных чисел равна 28 и сумма квадратов этих чисел равна 395. Пусть эти числа будут ( x ) и ( y ).
Итак, у нас есть два уравнения:
- ( x + y = 28 )
- ( x^2 + y^2 = 395 )
Мы можем решить эту систему уравнений методом замены или сложением уравнений.
- Метод замены:
Из уравнения 1 ( x = 28 - y )
Подставляем это значение ( x ) в уравнение 2:
( (28 - y)^2 + y^2 = 395 )
( 784 - 56y + y^2 + y^2 = 395 )
( 2y^2 - 56y + 389 = 0 )
Далее найдем корни уравнения ( 2y^2 - 56y + 389 = 0 ) с использованием дискриминанта:
Дискриминант ( D = (-56)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 389 )
( D = 3136 - 3112 = 24 )
Теперь найдем ( y ):
( y = \frac{-(-56) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} )
( y = \frac{56 \pm \sqrt{24}}{4} )
( y = \frac{56 \pm 2\sqrt{6}}{4} )
Подставим найденные значения ( y ) в уравнение 1 для нахождения ( x ). Таким образом, найдем два натуральных числа.
- Метод сложения уравнений:
Сложим уравнения 1 и 2:
( x^2 + 2xy + y^2 = 28^2 )
( (x + y)^2 = 28^2 )
( x + y = 28 )
Таким образом, второе уравнение подтверждает первое.
Из этого следует, что мы можем использовать второе уравнение для нахождения чисел.
Найдем числа, удовлетворяющие обоим этим условиям.
Подставим ( x + y = 28 ) из первого уравнения в квадратичное уравнение:
( x^2 + y^2 = 395 )
( x^2 + (28 - x)^2 = 395 )
( x^2 + 784 - 56x + x^2 = 395 )
( 2x^2 - 56x + 389 = 0 )
Теперь можно решить это квадратное уравнение как и в первом методе.
Итак, после нахождения значений ( x ) и ( y ) из уравнения, мы найдем два натруальных числа, которые удовлетворяют условиям задачи.
