длина двух сторон треугольника равны 2 и 5. Докажите, что медиана, проведённая к третьей его стороне, больше 1,5
Для доказательства того, что медиана треугольника, проведённая к третьей стороне, больше 1,5, давайте воспользуемся неравенством треугольника.
В данном случае у нас известно, что длины двух сторон треугольника равны 2 и 5. Пусть третья сторона треугольника имеет длину \( c \).
Медиана, проведённая к третьей стороне, делит третью сторону на две равные части, а также делит площадь треугольника на две равные части.
По теореме о медиане треугольника, длина медианы \( m \) находится по формуле:
\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2) - c^2} \]
где \( a \) и \( b \) - длины сторон треугольника, а \( c \) - длина третьей стороны треугольника.
Подставим известные значения:
\[ a = 2, \ b = 5 \]
Так как треугольник с заданными сторонами \( a \), \( b \) и \( c \) существует, то выполняется неравенство треугольника:
\[ a + b > c \] \[ 2 + 5 > c \] \[ c < 7 \]
Теперь подставим \( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c < 7 \) в формулу для длины медианы:
\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(2^2 + 5^2) - c^2} \] \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(4 + 25) - c^2} \] \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{58 - c^2} \]
Теперь, чтобы показать, что медиана больше 1,5, нужно доказать, что:
\[ m > 1.5 \] \[ \frac{1}{2} \sqrt{58 - c^2} > 1.5 \] \[ \sqrt{58 - c^2} > 3 \] \[ 58 - c^2 > 9 \] \[ c^2 < 49 \] \[ c < 7 \]
Так как \( c < 7 \), то условие \( m > 1.5 \) выполняется. Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника, проведённая к третьей его стороне, больше 1,5.
