В некотором графе 33 ребра. Каждая вершина графа имеет степень 4 или степень 7, причём вершин степени 4 столько же, сколько вершин степени 7. Сколько всего вершин содержит граф?

Дано, что в графе 33 ребра. Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер, поэтому сумма степеней всех вершин равна 66. Обозначим количество вершин со степенью 4 за \( x \), а количество вершин со степенью 7 за \( y \). Так как каждая вершина степени 4 соединена с 4 рёбрами, а каждая вершина степени 7 — с 7 рёбрами, мы можем записать уравнение на сумму степеней: \[4x + 7y = 66\] Также известно, что общее количество вершин равно сумме количества вершин степени 4 и степени 7, то есть \( x + y \). У нас есть два уравнения: \[ \begin{cases} 4x + 7y = 66 \\ x + y = \text{общее количество вершин} \end{cases} \] Решим систему уравнений методом подстановки. Используем второе уравнение, чтобы выразить \( x \) через \( y \): \[x = \text{общее количество вершин} - y\] Подставим это значение \( x \) в первое уравнение: \[4(\text{общее количество вершин} - y) + 7y = 66\] \[4\text{общее количество вершин} - 4y + 7y = 66\] \[4\text{общее количество вершин} + 3y = 66\] \[3y = 66 - 4\text{общее количество вершин}\] \[y = \frac{66 - 4\text{общее количество вершин}}{3}\] Так как у нас количество вершин должно быть целым числом, выберем значение \( \text{общего количества вершин} \), которое делится на 3, чтобы \( y \) было целым числом. После этого можно найти значение \( x \), используя уравнение \( x = \text{общее количество вершин} - y \). Таким образом, общее количество вершин в графе можно найти, выбрав подходящие целые значения для общего количества вершин и найденного \( x \) и \( y \).