В некотором графе 33 ребра. Каждая вершина графа имеет степень 4 или степень 7, причём вершин степени 4 столько же, сколько вершин степени 7. Сколько всего вершин содержит граф?

Дано, что в графе 33 ребра. Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер, поэтому сумма степеней всех вершин равна 66.

Обозначим количество вершин со степенью 4 за \( x \), а количество вершин со степенью 7 за \( y \). Так как каждая вершина степени 4 соединена с 4 рёбрами, а каждая вершина степени 7 — с 7 рёбрами, мы можем записать уравнение на сумму степеней:

\[4x + 7y = 66\]

Также известно, что общее количество вершин равно сумме количества вершин степени 4 и степени 7, то есть \( x + y \).

У нас есть два уравнения:

\[ \begin{cases} 4x + 7y = 66 \\ x + y = \text{общее количество вершин} \end{cases} \]

Решим систему уравнений методом подстановки.

Используем второе уравнение, чтобы выразить \( x \) через \( y \):

\[x = \text{общее количество вершин} - y\]

Подставим это значение \( x \) в первое уравнение:

\[4(\text{общее количество вершин} - y) + 7y = 66\]

\[4\text{общее количество вершин} - 4y + 7y = 66\]

\[4\text{общее количество вершин} + 3y = 66\]

\[3y = 66 - 4\text{общее количество вершин}\]

\[y = \frac{66 - 4\text{общее количество вершин}}{3}\]

Так как у нас количество вершин должно быть целым числом, выберем значение \( \text{общего количества вершин} \), которое делится на 3, чтобы \( y \) было целым числом.

После этого можно найти значение \( x \), используя уравнение \( x = \text{общее количество вершин} - y \).

Таким образом, общее количество вершин в графе можно найти, выбрав подходящие целые значения для общего количества вершин и найденного \( x \) и \( y \).