Задача 1:
№1
Найдем значение выражения:
$$
\frac{4.2}{3} - \frac{2}{3}
$$
Первым шагом выполним деление:
$$
\frac{4.2}{3} = 1.4
$$
Теперь вычитаем $\frac{2}{3}$:
$$
1.4 - \frac{2}{3} = 1.4 - 0.666... = 0.733...
$$
Таким образом, $4.2/3 - 2/3 = 0.733...$.
№2
Используем свойства степеней для упрощения выражения:
$$
\sqrt{(-b)^8} \times b^2 = (-b)^4 \times b^2 = b^4 \times b^2 = b^6
$$
Подставляем $b = 2$:
$$
2^6 = 64
$$
Таким образом, $\sqrt{(-b)^8} \times b^2$ при $b = 2$ равно 64.
№3
Решим уравнение $5x^2 - 2x - 3 = 0$ с помощью квадратного уравнения:
Сначала вычислим дискриминант:
$$
D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64
$$
Теперь находим корни уравнения:
$$
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}
$$
Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{10} = 1$. Меньший из корней равен $-0.6$.
№4
Всего машин 40, из которых 14 зеленых, поэтому вероятность того, что к заказчику приедет зеленое такси, равна $\frac{14}{40} = \frac{7}{20}$.
№5
Используем формулу для мощности постоянного тока:
$$
P = I^2 \times R
$$
Подставляем значения и находим сопротивление $R$:
$$
144.5 = 8.5^2 \times R
$$
$$
144.5 = 72.25 \times R
$$
$$
R = \frac{144.5}{72.25} = 2 , Ом
$$
Ответ: Сопротивление $R$ равно 2 Ом.
№6
Решим неравенство:
$$
5x - 3(5x - 8) < -7
$$
Раскрываем скобки:
$$
5x - 15x + 24 < -7
$$
Упростим:
$$
-10x + 24 < -7
$$
Теперь найдем $x$:
$$
-10x < -7 - 24
$$
$$
-10x < -31
$$
$$
x > 3.1
$$
Ответ: $x > 3.1$.
№7
Медиана равностороннего треугольника равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - сторона треугольника. По условию: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$, следовательно, $a = 24$. Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 24.
№8
Трапеция описана около окружности, значит, сумма двух противоположных сторон равна диаметру окружности. Исходя из свойств окружности и правила вписанного угла, можно составить уравнение:
$$
AB + CD = 2R
$$
$$
15 + 17 = 2R
$$
$$
32 = 2R
$$
$$
R = 16
$$
Теперь найдем диагональ трапеции:
$$
AD = 2\sqrt{R^2 - h^2}
$$
$$
AD = 2\sqrt{16^2 - (\frac{15 - 17}{2})^2}
$$
$$
AD = 2\sqrt{256 - 1}
$$
$$
AD = 2\sqrt{255}
$$
$$
AD = 2\sqrt{5\cdot 51}
$$
$$
AD = 2\cdot 4 \sqrt{5\cdot 17}
$$
$$
AD = 8\sqrt{85}
$$
Ответ: $AD = 8\sqrt{85}$.
№9
Пусть углы равнобедренной трапеции равны $x$ и $x$. Так как сумма углов равнобедренной трапеции равна 180 градусам, составим уравнение:
$$
x + x + 61 + 89 = 218
$$
$$
2x + 150 = 218
$$
$$
2x = 68
$$
$$
x = 34
$$
Меньший угол трапеции равен 34 градуса.
№10
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, следовательно:
$$
S = 4 \times 3 = 12
$$
Ответ: Площадь параллелограмма равна 12.
№11
Решим уравнение $x^3+5x^2-4x-20=0$. Подберем корень методом подбора или использование графика:
$$
(x+2)(x^2 + 3x - 10) = 0
$$
$$
(x+2)(x+5)(x-2)=0
$$
Корни уравнения: $x = -2, -5, 2$.
№12
Из условия имеем, что углы В и С равны 61 и 89 градусов, соответственно. Также радиус описанной окружности равен 10. Радиус описанной окружности равен половине произведения диагоналей треугольника:
$$
R = \frac{AC \cdot BC}{4R_{ABC}}
$$
$$
10 = \frac{2BC \sin61 \cdot 2BC\sin89}{4R}
$$
$$
10 = \frac{4BC^2 \sin61 \sin89}{4 \cdot 10}
$$
$$
BC^2 = \frac{4 \cdot 10 \cdot 4}{\sin61 \sin89}
$$
$$
BC \approx 16.86
$$
Ответ: $BC \approx 16.86$.
