В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС провели биссектрису АК. Найдите ВК, если АС = 18, <ACB = 72°.

Дано:
В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) провели биссектрису \(AK\).
\(AC = 18\)
\(\angle ACB = 72°\)

Чтобы найти отрезок \(BK\), нам следует воспользоваться теоремой угловой биссектрисы. Согласно данной теореме, биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении к двум другим сторонам.

Для начала, найдем угол \(BAK\).
Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC = \angle ABC\).
Из этого следует, что \(\angle BAK = \frac{1}{2} \cdot \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot (180° - 72°) = 54°\).

Теперь найдем угол \(BCK\).
Так как \(AK\) - биссектриса угла \(BAC\), то угол \(BAK\) равен углу \(CAK\).
Следовательно, угол \(CAK = 54°\).

Из равнобедренности треугольника \(ABC\) следует, что \(\angle ACB = \angle ABC = 72°\).
Так как треугольник \(ACB\) равнобедренный, то \(\angle ACB = \angle BCA\).
Следовательно, угол \(BCK = \frac{1}{2} \cdot \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 72° = 36°\).

Теперь у нас есть угол \(BCK\) равный \(36°\) и сторона \(AC\) равная \(18\).
Мы можем применить формулу косинусов в треугольнике \(BCK\):

\(\cos(36°) = \frac{BK}{AC}\)
\(\cos(36°) = \frac{BK}{18}\)
\(BK = 18 \cdot \cos(36°)\)
\(BK \approx 14.51\)

Итак, отрезок \(BK \approx 14.51\).