Помогите пожалуйста как это решить

Давайте рассмотрим задачу.

У нас имеется распределение вероятностей дискретной случайной величины \( X \):

\[ \begin{array}{c|cccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X) & 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.3 & 0.1 \\ \end{array} \]

Нужно найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины.

Математическое ожидание (среднее значение)

Математическое ожидание \( E(X) \) для дискретной случайной величины находится по формуле:

\[ E(X) = \sum X_i \cdot P(X_i) \]

Вычислим:

\[ E(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 \]

\[ E(X) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 0.4 = 2 \]

Дисперсия

Дисперсия \( D(X) \) измеряет, насколько значения \( X \) разбросаны вокруг среднего. Формула дисперсии:

\[ D(X) = \sum (X_i - E(X))^2 \cdot P(X_i) \]

Уже знаем, что \( E(X) = 2 \). Найдем дисперсию:

\[ D(X) = (0 - 2)^2 \cdot 0.1 + (1 - 2)^2 \cdot 0.3 + (2 - 2)^2 \cdot 0.2 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1 \]

\[ D(X) = 4 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 \]

\[ D(X) = 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.4 \]

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение \( \sigma(X) \) — это корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.4} \approx 1.18 \]

Таким образом, мы нашли:

• Математическое ожидание: 2
• Дисперсия: 1.4
• Среднеквадратичное отклонение: 1.18