Давайте рассмотрим задачу.
У нас имеется распределение вероятностей дискретной случайной величины ( X ):
[
\begin{array}{c|cccc}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \
\hline
P(X) & 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.3 & 0.1 \
\end{array}
]
Нужно найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины.
Математическое ожидание (среднее значение)
Математическое ожидание ( E(X) ) для дискретной случайной величины находится по формуле:
[
E(X) = \sum X_i \cdot P(X_i)
]
Вычислим:
[
E(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1
]
[
E(X) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 0.4 = 2
]
Дисперсия
Дисперсия ( D(X) ) измеряет, насколько значения ( X ) разбросаны вокруг среднего. Формула дисперсии:
[
D(X) = \sum (X_i - E(X))^2 \cdot P(X_i)
]
Уже знаем, что ( E(X) = 2 ). Найдем дисперсию:
[
D(X) = (0 - 2)^2 \cdot 0.1 + (1 - 2)^2 \cdot 0.3 + (2 - 2)^2 \cdot 0.2 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1
]
[
D(X) = 4 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1
]
[
D(X) = 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.4
]
Среднеквадратичное отклонение
Среднеквадратичное отклонение ( \sigma(X) ) — это корень из дисперсии:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.4} \approx 1.18
]
Таким образом, мы нашли:
- Математическое ожидание: 2
- Дисперсия: 1.4
- Среднеквадратичное отклонение: 1.18
