Постройте прямоугольный параллелепипед, объем которого равен 500 кубическим сантиметрам, а сумма длины, ширины и высоты минимальна.

Цель: Цель задачи — построить прямоугольный параллелепипед с заданным объемом, при этом минимизируя сумму длины, ширины и высоты.

Решение:

1. Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда как \(l\), \(w\) и \(h\) соответственно.
2. Задан объем параллелепипеда: \(V = l \cdot w \cdot h = 500\).
3. Так как задача состоит в минимизации суммы длины, ширины и высоты, то необходимо найти функцию, которую нужно минимизировать. В данном случае, это сумма \(l + w + h\).
4. Воспользуемся методом подстановки, чтобы выразить одну из переменных через остальные:
   • Из уравнения объема: \(l \cdot w \cdot h = 500\), выразим, к примеру, высоту: \(h = \frac{500}{l \cdot w}\).
5. Теперь можем записать сумму длины, ширины и высоты как функцию одной переменной \(l\): \[S(l) = l + w + \frac{500}{l \cdot w}\]
6. Для минимизации этой функции, нам нужно найти её минимальное значение. Для этого найдем производную \(S'(l)\) и приравняем её к нулю: \[S'(l) = 1 - \frac{500}{l^2 \cdot w} = 0\] \[l^2 \cdot w = 500\] \[w = \frac{500}{l^2}\]
7. Теперь, подставляем выражение для \(w\) обратно в уравнение объема: \[l \cdot \frac{500}{l^2} \cdot h = 500\] \[h = \frac{500}{l}\]
8. Таким образом, получаем прямоугольный параллелепипед с минимальной суммой длины, ширины и высоты:
   • Длина \(l = 10 \, см\)
   • Ширина \(w = 5 \, см\)
   • Высота \(h = 50 \, см\)

Поэтому, чтобы построить прямоугольный параллелепипед с заданным объемом 500 кубических сантиметров и минимальной суммой длины, ширины и высоты, следует выбрать указанные значения для длины, ширины и высоты.