2 sin^2 x + 3корень2 sin x + 2 = 0

Дано уравнение: \(2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\).

Для решения данного квадратного уравнения относительно \(\sin x\) необходимо преобразовать его к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\).

Перепишем уравнение:
\[2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\]
Это уравнение квадратное по \(\sin x\). Для решения данного уравнения, сделаем замену: \(t = \sin x\).

Тогда уравнение примет вид:
\[2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0\].

Теперь, найдем дискриминант квадратного уравнения:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \times 2 \times 2\]
\[D = 18 - 16\]
\[D = 2\].

Далее, найдем решения уравнения используя формулу квадратного уравнения:
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[t = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2 \times 2}\]
\[t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x_1\]
\[t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} = \sin x_2\].

Итак, получили два решения для \(\sin x\):
\(\sin x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin x_2 = -\sqrt{2}\).

Для нахождения значений углов, соответствующих этим синусам, нужно рассмотреть их расположение в различных четвертях плоскости. Так как \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число), а \(\sin x = -\sqrt{2}\) не имеет действительных решений, поскольку синус ограничен от -1 до 1.

Итак, уравнение \(2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\) имеет два действительных решения: \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число).