2 sin^2 x + 3корень2 sin x + 2 = 0

Дано уравнение: \(2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\). Для решения данного квадратного уравнения относительно \(\sin x\) необходимо преобразовать его к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\). Перепишем уравнение: \[2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\] Это уравнение квадратное по \(\sin x\). Для решения данного уравнения, сделаем замену: \(t = \sin x\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0\]. Теперь, найдем дискриминант квадратного уравнения: \[D = b^2 - 4ac\] \[D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \times 2 \times 2\] \[D = 18 - 16\] \[D = 2\]. Далее, найдем решения уравнения используя формулу квадратного уравнения: \[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[t = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2 \times 2}\] \[t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x_1\] \[t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} = \sin x_2\]. Итак, получили два решения для \(\sin x\): \(\sin x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sin x_2 = -\sqrt{2}\). Для нахождения значений углов, соответствующих этим синусам, нужно рассмотреть их расположение в различных четвертях плоскости. Так как \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число), а \(\sin x = -\sqrt{2}\) не имеет действительных решений, поскольку синус ограничен от -1 до 1. Итак, уравнение \(2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0\) имеет два действительных решения: \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число).