задумали трёхзначное число, которое меньше пятиста и делится на 15, за тем поменяли местами цифры десятках единиц и полученное , вычли из задумано, получили число 54, какое число…

Давайте решим данную задачу.

1. Первый этап - составление уравнения:
   Пусть искомое трехзначное число, которое меньше 500 и делится на 15, - это \(ABC\), где \(A\), \(B\), \(C\) - цифры сотен, десятков и единиц соответственно.

Учитывая условие, мы имеем систему уравнений:
\(ABC \equiv 0 \pmod{15}\) (число делится на 15)
\(100A + 10B + C \equiv 15(6A + B)\equiv 0 \pmod{15}\)

2. Далее следуем условию, что после перестановки цифр десятков и единиц получается число, на которое исходное число делится без остатка.
   После перестановки цифр мы получаем число \(ACB\), следовательно теперь у нас полученное число делится на 15 и имеем:
   \(100A + 10C + B \equiv 0 \pmod{15}\) (число делится на 15)

3. Следующий шаг - составление уравнения на разность:
   Теперь вычтем число \(ACB\) из исходного числа \(ABC\) и получим:
   \(ABC - ACB = 100A + 10B + C - (100A + 10C + B) = 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 9B - 9C = 9(B - C)\)

Условие задачи гласит, что разность равна 54, следовательно,
\(9(B - C) = 54\)
\(B - C = 6\)

4. Теперь исследуем полученное уравнение \(B - C = 6\):
   Учитывая, что \(B\) и \(C\) - цифры, всего 3 варианта взаимного расположения: (B,C) = (9,3) или (8,2) или (7,1).
   Но т.к. мы знаем, что \(ABC < 500\) и числу должно быть меньше 500, то выберем только пару (4,8).

5. Наконец, чтобы найти само число, скомбинируем результат полученный на шаге 4 с первым уравнением.
   Таким образом, искомое число \(ABC\) равно \(48*15 = 720\).

Ответ: Искомое число, которое было задумано, равно 480.