Найдите наименьшее значение функции y=9+Pi/2-2x-2^2cosx на отрезке [0;Pi/2]
Дано: функция \(y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2x - 2^2 \cos x\), отрезок \([0; \frac{\pi}{2}]\).
Чтобы найти наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно продифференцировать функцию и найти её экстремумы в указанном интервале.
- Найдем производную функции \(y\): \[ y' = \frac{d}{dx} (9 + \frac{\pi}{2} - 2x - 2^2 \cos x) \]
\[ y' = -2 + 4 \sin x \]
- Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: \[ -2 + 4 \sin x = 0 \]
\[ 4 \sin x = 2 \]
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]
Так как мы ищем решение на интервале от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\), то для уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) подходит только \(x = \frac{\pi}{6}\).
- Далее, найдем значение функции в найденной точке и на концах интервала:
- При \(x = 0\):
\( y(0) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2 \cdot 0 - 2^2 \cdot \cos 0 = 9 + \frac{\pi}{2} - 0 - 2^2 \cdot 1 = 9 + \frac{\pi}{2} - 4 \) - При \(x = \frac{\pi}{6}\):
\( y(\frac{\pi}{6}) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} - 2^2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 9 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3} \) - При \(x = \frac{\pi}{2}\):
\( y(\frac{\pi}{2}) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 9 + \frac{\pi}{2} - \pi - 0 = 9 - \frac{\pi}{2} \)
Таким образом, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\), нужно сравнить значения функции в точках \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{\pi}{2}\). Найденные значения выше позволяют определить, что минимальное значение функции достигается в точке \(x = \frac{\pi}{6}\), а именно \(9 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3}\).
