### Решение задачи по плотности распределения вероятностей СВ \( X \) #### 1) Определение коэффициента \( a \) Плотность распределения вероятностей \( f(x) \) должна удовлетворять…

### Решение задачи по плотности распределения вероятностей СВ \( X \) #### 1) Определение коэффициента \( a \) Плотность распределения вероятностей \( f(x) \) должна удовлетворять условию нормировки: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \] Подставляем заданную плотность: \[ \int_{0}^{2} a(4x - x^3) \, dx = 1 \] Вычисляем интеграл: \[ a \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = a \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = a \left( 8 - 4 \right) = 4a \] Приравниваем к 1: \[ 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4} \] **Ответ:** \[ a = \boxed{\dfrac{1}{4}} \] --- #### 2) Функция распределения СВ \( X \) Функция распределения \( F(x) \) определяется как: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \] Рассмотрим интервалы: - При \( x < 0 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 \] - При \( 0 \leq x \leq 2 \): \[ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{4}(4t - t^3) \, dt = \frac{1}{4} \left[ 2t^2 - \frac{t^4}{4} \right]_0^x = \frac{1}{4} \left( 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right) \] - При \( x > 2 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = 1 \] **Ответ:** \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x < 0, \\ \dfrac{2x^2 - \dfrac{x^4}{4}}{4} & \text{при } 0 \leq x \leq 2, \\ 1 & \text{при } x > 2. \end{cases} \] --- #### 3) Математическое ожидание и дисперсия **Математическое ожидание \( E(X) \):** \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3) \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx \] \[ = \frac{1}{4} \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{160 - 96}{15} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15} \] **Дисперсия \( D(X) \):** Сначала найдём \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3) \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (4x^3 - x^5) \, dx \] \[ = \frac{1}{4} \left[ x^4 - \frac{x^6}{6} \right]_0^2 = \frac{1}{4} \left( 16 - \frac{64}{6} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{96 - 64}{6} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} \] Теперь вычисляем дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{4}{3} - \left( \frac{16}{15} \right)^2 = \frac{4}{3} - \frac{256}{225} = \frac{300 - 256}{225} = \frac{44}{225} \] **Ответ:** \[ E(X) = \boxed{\dfrac{16}{15}}, \quad D(X) = \boxed{\dfrac{44}{225}} \] --- #### 4) Вероятность попадания СВ \( X \) в интервал \( (0; 1) \) Вероятность можно найти через функцию распределения: \[ P(0 < X < 1) = F(1) - F(0) = \frac{2 \cdot 1^2 - \frac{1^4}{4}}{4} - 0 = \frac{2 - \frac{1}{4}}{4} = \frac{\frac{7}{4}}{4} = \frac{7}{16} \] **Ответ:** \[ P(0 < X < 1) = \boxed{\dfrac{7}{16}} \] как график выглядит