Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь полной поверхности…

Определим основные элементы задачи:

1. Основание параллелепипеда – это ромб с диагоналями 10 см и 24 см.

2. Параллелепипед – прямой.

3. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Нужно найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Шаг 1: Найдите стороны ромба

Пусть стороны ромба равны \( a \). Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Значит, каждая половина диагонали равна половине гипотенузы этих треугольников:

\[ \text{Полудиагонали: } \frac{10}{2} = 5 \text{ см и } \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \]

Используем теорему Пифагора:

\[ a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]

\[ a = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Шаг 2: Высота параллелепипеда

Пусть высота параллелепипеда равна \( h \). Меньшая диагональ параллелепипеда, образующая угол 45° с основанием, равна диагонали основания ромба, она остаётся равной 10 см.

Так как диагональ образует угол 45°, то:

\[ h = 10 \cdot \sin(45°) = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]

Шаг 3: Площадь основания и боковой поверхности

1. Площадь основания \( S_{\text{осн}} \):

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120 \text{ см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности \( S_{\text{боковая}} \):

Боковая грань – это прямоугольник со сторонами \( a \) и \( h \), а боковых граней четыре:

\[ S_{\text{боковая}} = 4ah = 4 \times 13 \times 5\sqrt{2} = 260\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Полная площадь поверхности

\[ S_{\text{полная}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{боковая}} = 2 \times 120 + 260\sqrt{2} = 240 + 260\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна \( 240 + 260\sqrt{2} \) квадратных сантиметров.