Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Определим основные элементы задачи: 1. **Основание параллелепипеда** – это ромб с диагоналями 10 см и 24 см. 2. **Параллелепипед** – прямой. 3. **Меньшая диагональ параллелепипеда** образует с плоскостью основания угол 45°. Нужно найти площадь полной поверхности параллелепипеда. ### Шаг 1: Найдите стороны ромба Пусть стороны ромба равны \( a \). Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Значит, каждая половина диагонали равна половине гипотенузы этих треугольников: \[ \text{Полудиагонали: } \frac{10}{2} = 5 \text{ см и } \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] Используем теорему Пифагора: \[ a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ a = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] ### Шаг 2: Высота параллелепипеда Пусть высота параллелепипеда равна \( h \). Меньшая диагональ параллелепипеда, образующая угол 45° с основанием, равна диагонали основания ромба, она остаётся равной 10 см. Так как диагональ образует угол 45°, то: \[ h = 10 \cdot \sin(45°) = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \] ### Шаг 3: Площадь основания и боковой поверхности 1. **Площадь основания \( S_{\text{осн}} \)**: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120 \text{ см}^2 \] 2. **Площадь боковой поверхности \( S_{\text{боковая}} \)**: Боковая грань – это прямоугольник со сторонами \( a \) и \( h \), а боковых граней четыре: \[ S_{\text{боковая}} = 4ah = 4 \times 13 \times 5\sqrt{2} = 260\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Шаг 4: Полная площадь поверхности \[ S_{\text{полная}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{боковая}} = 2 \times 120 + 260\sqrt{2} = 240 + 260\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна \( 240 + 260\sqrt{2} \) квадратных сантиметров.