В холодильнике 6 бананов, 5 апельсинов и 5 яблок. Сколькими способами дети могут выбрать 3 банана, 3 апельсина и 3 яблока для приготовления фруктового салата?

Для решения данной задачи используем комбинаторику, а именно мультиномиальный коэффициент.

Мультиномиальный коэффициент задается формулой: \[ \binom{n}{k_1, k_2, ..., k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!} \]

где:

• \( n \) общее количество предметов (в данном случае фруктов) - в данном случае 16 (6 бананов + 5 апельсинов + 5 яблок),
• \( k_1, k_2, k_3 \) количество каждого вида фруктов, которое мы хотим выбрать для салата - в данной задаче 3 банана, 3 апельсина и 3 яблока.

Подставляя значения в формулу, получаем: \[ \binom{16}{3, 3, 3} = \frac{16!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} \]

Вычислим факториал для каждого значения:

• \( 16! = 16 \times 15 \times 14 \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 \)

Подставляем значения: \[ \binom{16}{3, 3, 3} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times ... \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} \]

\[ \binom{16}{3, 3, 3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \]

Выполняем вычисления: \[ \binom{16}{3, 3, 3} = 560 \times 165 \times 56 = 1232000 \]

Таким образом, дети могут выбрать 3 банана, 3 апельсина и 3 яблока для приготовления фруктового салата 1232000 способами.