Решение:
а) Разложение на множители выражения $mx^2 - 49m$:
Мы видим, что это является разностью квадратов. Формула разности квадратов гласит: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
Таким образом, разложим данное выражение:
$mx^2 - 49m = m(x^2 - 49)$
Теперь, $x^2 - 49$ также является разностью квадратов: $x^2 - 7^2 = (x + 7)(x - 7)$.
Подставляем это обратно в исходное выражение:
$mx^2 - 49m = m(x + 7)(x - 7)$
б) Разложение на множители выражения $ab^2 - 4ac^2$:
В данном случае, данные не являются разностью квадратов. Мы видим, что выражение имеет общий множитель $a$, поэтому можно выделить его:
$ab^2 - 4ac^2 = a(b^2 - 4c^2)$
Заметим, что $b^2 - 4c^2$ может быть представлено как разность квадратов: $b^2 - (2c)^2 = (b + 2c)(b - 2c)$.
Теперь подставляем обратно в исходное выражение:
$ab^2 - 4ac^2 = a(b + 2c)(b - 2c)$
в) Разложение на множители выражения $4b^3 - b$:
Подобно предыдущим случаям, мы можем выделить общий множитель, который в данном случае является $b$:
$4b^3 - b = b(4b^2 - 1)$
Теперь, $4b^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2b)^2 - 1^2 = (2b + 1)(2b - 1)$.
Подставляем обратно в исходное выражение:
$4b^3 - b = b(2b + 1)(2b - 1)$
г) Разложение на множители выражения $a^3 - ac^2$:
Заметим, что данное выражение также имеет общий множитель $a$:
$a^3 - ac^2 = a(a^2 - c^2)$
$a^2 - c^2$ является разностью квадратов: $a^2 - c^2 = (a + c)(a - c)$.
Подставляем обратно в исходное выражение:
$a^3 - ac^2 = a(a + c)(a - c)$
Таким образом, мы разложили данные выражения на множители.
