Дано:
- В треугольнике ABC угол C равен 90°.
- AC=3 и cos(A)=√5/5.
Цель: Найти длину стороны BC.
Чтобы найти длину стороны BC, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
Для дальнейших рассуждений, нам понадобится угол A. Известно, что сумма углов треугольника равна 180°, значит:
A + B + C = 180°
A + B + 90° = 180°
A + B = 90°
Учитывая, что cos(A) = √5/5, мы можем найти значение синуса угла A:
sin^2(A) + cos^2(A) = 1
sin^2(A) + (√5/5)^2 = 1
sin^2(A) + 5/25 = 1
sin^2(A) + 1/5 = 1
sin^2(A) = 4/5
sin(A) = √4/√5
sin(A) = 2/√5
Теперь мы можем найти значение стороны AB, используя тригонометрические отношения:
sin(A) = AB / AC
AB = AC * sin(A)
AB = 3 * 2/√5
AB = 6/√5
AB = 6√5 / 5
Теперь, когда мы знаем длины сторон AC и AB, можем применить теорему Пифагора для нахождения длины стороны BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = (6√5 / 5)^2 + 3^2
BC^2 = 36 * 5 / 25 + 9
BC^2 = 180 / 25 + 9
BC^2 = 72/5 + 9
BC^2 = 72/5 + 45/5
BC^2 = 117/5
Таким образом, длина стороны BC равна корню из 117/5:
BC = √(117/5)
BC = √117 / √5
BC = √(9 * 13) / √5
BC = 3√13 / √5
BC = (3√13 * √5) / 5
BC = 3√65 / 5
Итак, длина стороны BC треугольника ABC равна 3√65 / 5.
