Реши

Чтобы решить задачу, используем свойства окружности и геометрию. У нас есть круг, в котором \( AB \) — хорда, \( O \) — центр круга, и угол \( \angle BOC = 120^\circ \).

Шаги решения:

1. Понимание геометрии проблемы:

   • \( O \) — центр окружности, значит, \( OA = OB = r \) (радиусы окружности).
   • \( \angle BOC = 120^\circ \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \).

2. Найдем дугу \( \widehat{BC} \):

   • Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Следовательно, дуга \( \widehat{BC} = 120^\circ \).

3. Используем свойства треугольников:

   • Рассмотрим треугольник \( OBC \). Он равнобедренный, так как \( OB = OC = r \).
   • Углы при основании \( \angle OBC = \angle OCB \).
   • Сумма углов в треугольнике \( OBC \) равна \( 180^\circ \).
   • Значит: \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ \) или \( 2\angle OBC + 120^\circ = 180^\circ \).
   • Отсюда \( 2\angle OBC = 60^\circ \), значит \( \angle OBC = 30^\circ \).

4. Рассмотрим треугольник \( OCA \):

   • Аналогично, треугольник \( OCA \) равнобедренный.
   • Углы при основании равны \( \angle OCA = \angle OAC = 30^\circ \).

5. Используем свойства хорды:

   • Рассмотрим треугольник \( OAB \):
   • Поскольку треугольник \( OAB \) равнобедренный, и угол между равными сторонами \( \angle AOB \) теперь равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

6. Найдем сторону \( CA \):

   • Из анализа видно, что треугольник \( OAB \) — равносторонний, так как:
   • \( \angle AOB = 60^\circ \).
   • \( AB = 13 \) см, поскольку это равносторонний треугольник, все стороны равны.
   • Значит, \( CA = AB = 13 \) см.

Поэтому, искомое расстояние \( CA = 13 \) см.