А(3;4;0) и b(7;1;0) 1) найдите координаты вектора а+b 2) найдите координаты вектора 2а+3b 3) найдите длины вектора а и b 4) найдите столярное произведение вектора а и b 5) найдите…

Решение:

Дано:
Вектор а: A(3; 4; 0)
Вектор b: B(7; 1; 0)

1) Найдите координаты вектора a + b:
Для сложения векторов просто складываем соответствующие координаты векторов.
a + b = (3 + 7; 4 + 1; 0 + 0)
a + b = (10; 5; 0)
Ответ: Вектор a + b имеет координаты (10; 5; 0).

2) Найдите координаты вектора 2a + 3b:
Умножим каждую координату вектора а на 2 и каждую координату вектора b на 3, затем сложим полученные векторы.
2a + 3b = (23 + 37; 24 + 31; 20 + 30)
2a + 3b = (6 + 21; 8 + 3; 0 + 0)
2a + 3b = (27; 11; 0)
Ответ: Вектор 2a + 3b имеет координаты (27; 11; 0).

3) Найдите длины векторов a и b:
Длина вектора a: |a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Длина вектора b: |b| = √(7² + 1²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2.
Ответ: Длина вектора a равна 5, а длина вектора b равна 5√2.

4) Найдите скалярное произведение векторов a и b:
Скалярное произведение двух векторов a и b равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
a • b = 37 + 41 = 21 + 4 = 25.
Ответ: Скалярное произведение векторов a и b равно 25.

5) Найдите косинус между векторами:
Косинус угла между векторами a и b можно вычислить по формуле:
cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|)
cos(θ) = 25 / (5 * 5√2)
cos(θ) = 25 / (25√2)
cos(θ) = 1 / √2
Упрощаем, умножив и разделив на √2:
cos(θ) = √2 / 2
Ответ: Косинус угла между векторами a и b равен √2 / 2.