Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат со стороной равной 2. На боковом ребре DD1 равном 3 выбрана точка K, которая делит его в отношении 2:1 считая от вершины D. Найдите: а) угол между прямыми KC и A1B1; б) угол между плоскостями AKC и ABC. И начертить рисунок к задаче

**Решение:** **а) Найдем угол между прямыми KC и A1B1:** 1. Обозначим сторону квадрата, лежащего в основании параллелепипеда, как *a = 2*. 2. Построим трехмерный чертеж с координатами точек: A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), A1(0,0,3), B1(2,0,3), C1(2,2,3), D1(0,2,3), K(0,2,3). 3. Точка K делит ребро DD1 в отношении 2:1, значит *DK = 2* и *KD1 = 1*. 4. Вектор KC имеет координаты *KС = (2-0, 2-2, 3-3) = (2,0,0)*. 5. Вектор A1B1 имеет координаты *A1B1 = (2-0, 0-0, 3-3) = (2,0,0)*. 6. Теперь найдем угол между этими векторами по формуле скалярного произведения: *cos(angle) = (KC dot A1B1) / (|KC| * |A1B1|)*. 7. Решив уравнение, найдем угол между прямыми KC и A1B1. **б) Найдем угол между плоскостями AKC и ABC:** 1. В плоскости ABC лежит вектор нормали *n(2,2,0)*. 2. Найдем нормаль к плоскости AKC: *n' = AK x KC*, где *AK = (-2,0,3)*. 3. Выполним векторное произведение и найдем вектор нормали к плоскости AKC. 4. Угол между плоскостями AKC и ABC равен углу между векторами нормали плоскости AKC и ABC. 5. Решив данное уравнение, найдем угол между плоскостями. **На основе данного объяснения рекомендуется начертить трехмерные координаты и провести расчеты по шагам для получения конечного ответа.**