Для решения этой задачи нам понадобится учитывать процесс разрядки конденсатора в электрической цепи.
Дано:
- ЭДС батарейки (для источника напряжения) $V = 12, В$
- Емкость конденсатора $C = 0.2, мкФ$
- Отношение внутреннего сопротивления и сопротивления резистора $k = \frac{r}{R} = 0.2$
При размыкании ключа К, конденсатор начинает разряжаться через резистор. В начальный момент (когда конденсатор был заряжен), заряд на конденсаторе был равен $Q = CV$. После размыкания заряд $Q$ начнет убывать со временем.
Интегральное уравнение разряда конденсатора: $Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$, где
- $Q(t)$ - заряд на конденсаторе в момент времени $t$
- $Q_0$ - начальный заряд на конденсаторе
- $RC$ - постоянная времени разрядки конденсатора ($R$ - суммарное сопротивление цепи)
Поскольку $R = r + R$ и $k = \frac{r}{R} = 0.2$, то $r = 0.2R$.
Теперь подставим $RC$ в уравнение разряда конденсатора:
$Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{t}{(0.2R) \cdot C}}$
Как только ключ размыкается (в момент $t = 0$), разрядка начинается. Поэтому начальный заряд $Q_0 = CV$.
Таким образом, уравнение разряда конденсатора принимает вид:
$Q(t) = CV \cdot e^{-\frac{t}{(0.2R)\cdot C}}$
Количество теплоты, выделившей на резисторе после размыкания ключа А, можно найти как работу, совершаемую током на резисторе за время разрядки конденсатора:
$Q_{\text{тепл}} = \int_{0}^{\infty} i^2 \cdot R , dt$
Ток в цепи можно выразить как производную заряда по времени: $i = \frac{dQ}{dt}$.
Таким образом, $Q_{\text{тепл}} = R \cdot \int_{0}^{\infty} \left(\frac{dQ}{dt}\right)^2 , dt$
Теперь подставим в выражение $Q_{\text{тепл}}$:
$Q_{\text{тепл}} = R \cdot \int_{0}^{\infty} \left(\frac{V}{(0.2R)C}\right)^2 \cdot e^{-\frac{t}{(0.2R)C}} , dt$
$Q_{\text{тепл}} = R \cdot \left(\frac{V}{(0.2R)C}\right)^2 \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{t}{(0.2R)C}} , dt$
Интегрируя, получим:
$Q_{\text{тепл}} = R \cdot \left(\frac{V}{(0.2R)C}\right)^2 \cdot (0.2R)C$
Сокращаем $R$ и $C$:
$Q_{\text{тепл}} = \frac{V^2}{(0.2)^2} \cdot R$
Теперь подставляем известные значения:
$Q_{\text{тепл}} = \frac{(12, В)^2}{0.2^2} \cdot R$
$Q_{\text{тепл}} = \frac{144}{0.04} \cdot R$
$Q_{\text{тепл}} = 3600 \cdot R$
Таким образом, количество теплоты, которое выделится на резисторе после размыкания ключа А, будет равно $3600$ разности внутреннего сопротивления и сопротивления резистора.
