Для решения этой задачи, давайте обратимся к свойствам касательных к окружности.
Построим треугольник $\triangle AOM$ и треугольник $\triangle BOM$.
Заметим, что касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Следовательно, $\angle AMO = 90^\circ$ и $\angle BMO = 90^\circ$, так как $AM$ и $BM$ являются касательными к окружности. Из этого следует, что $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$ - прямоугольные треугольники.
Также имеем данное условие: $\angle AOB = 120^\circ$. Поскольку центр окружности $O$ - это вершина угла между касательными, угол на окружности, опирающийся на этот же дуге, в два раза больше угла в центре, то есть $\angle AOB = 2\cdot \angle AMO = 2\cdot \angle BMO = 120^\circ$.
Из этого следует, что $\angle AMO = \angle BMO = \frac{120}{2} = 60^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMO$. Мы знаем, что длина $MO = 14$.
Используем тригонометрические функции для нахождения стороны $MA$. Так как $\angle AMO = 60^\circ$, тогда $\sin 60^\circ = \frac{MA}{MO}$. Подставляя известные значения, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MA}{14}$. Отсюда находим $MA = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$.
Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BMO$. Так как $\angle BMO = 60^\circ$, то $\sin 60^\circ = \frac{MB}{MO}$. Подставляя значения, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MB}{14}$, откуда $MB = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$.
Таким образом, расстояние между точками касания $A$ и $B$ равно $AB = MA + MB = 7\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$.
Итак, расстояние между точками касания равно $14\sqrt{3}$.
