Решение:
Для нахождения периметра треугольника $\triangle ADC$ нам необходимо сначала найти стороны треугольника, зная что $AD$ - медиана, и затем сложить все стороны.
По свойству медианы в треугольнике мы знаем, что она делит сторону, к которой проведена, на две равные части. Таким образом, $AD$ делит сторону $BC$ треугольника $\triangle ABC$ на две равные части.
Для начала найдем сторону $BC$. Для этого воспользуемся формулой для вычисления медианы $AD$ в треугольнике $\triangle ABC$:
$\frac{BC}{2} = AD$
$BC = 2 \cdot AD$
$BC = 2 \cdot 9$
$BC = 18$
Таким образом, сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна 18 см.
Теперь, чтобы найти сторону $AC$, используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$:
[ AC^2 = AB^2 + BC^2 ]
У нас уже известно, что $BC = 18$ см. Найдем сторону $AB$:
[ AB = \sqrt{BC^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} ]
[ AB = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} ]
Итак, мы получили, что $AB = 9\sqrt{3}$.
Теперь можем найти сторону $AC$:
[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} ]
[ AC = \sqrt{(9\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{81 \cdot 3 + 324} = \sqrt{243 + 324} = \sqrt{567} = \sqrt{81 \cdot 7} = 9\sqrt{7} ]
Итак, сторона $AC = 9\sqrt{7}$ см.
Теперь, чтобы найти периметр треугольника $\triangle ADC$, сложим все стороны:
[ P = AD + AC + DC ]
[ P = 9 + 9\sqrt{7} + 13 ]
[ P = 22 + 9\sqrt{7} ]
Таким образом, периметр треугольника $\triangle ADC$ равен $22 + 9\sqrt{7}$ см.
