Ученик измеряет коэффициент жёсткости пружины. Удлинение пружины составляет х = 20 мм при приложенной силе F = 22 Н. Рассчитайте коэффициент жёсткости пружины к. Рассчитайте…
Ученик измеряет коэффициент жёсткости пружины. Удлинение пружины составляет х = 20 мм при приложенной силе F = 22 Н. Рассчитайте коэффициент жёсткости пружины к. Рассчитайте абсолютную погрешность Дк коэффициента жёсткости пружины, если абсолютная погрешность измерения расстояния составляет 1 мм, а абсолютная погрешность измерения силы - 1 Н. Кратко поясните вычисления. Можно ли с учётом погрешностей величин считать, что жёсткость пружины не больше 1150 H/м?
Дано:
- Удлинение пружины х = 20 мм
- Приложенная сила F = 22 Н
- Абсолютная погрешность измерения расстояния Δx = 1 мм
- Абсолютная погрешность измерения силы ΔF = 1 Н
Рассчитаем коэффициент жёсткости пружины k: Коэффициент жёсткости пружины k определяется как отношение приложенной силы к удлинению пружины: \[ k = \frac{F}{x} \]
\[ k = \frac{22\,Н}{20\,мм} = \frac{22\,Н}{0.02\,м} = 1100\,Н/м \]Рассчитаем абсолютную погрешность коэффициента жёсткости пружины Δk: Формула для расчета погрешности функции одной переменной: \[ \Delta k = \sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\right)^{2}(\Delta x)^{2} + \left(\frac{\partial k}{\partial F}\right)^{2}(\Delta F)^{2}} \] Где \[ \frac{\partial k}{\partial x} = -\frac{F}{x^2} \] и \[ \frac{\partial k}{\partial F} = \frac{1}{x} \]
\[ \Delta k = \sqrt{\left(-\frac{F}{x^2}\right)^{2}(\Delta x)^{2} + \left(\frac{1}{x}\right)^{2}(\Delta F)^{2}} \] \[ \Delta k = \sqrt{\left(-\frac{22}{(0.02)^2}\right)^2(0.001)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2(1)^2} \] \[ \Delta k = \sqrt{\left(-\frac{22}{0.0004}\right)^2(0.001)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2(1)^2} \] \[ \Delta k = \sqrt{(55,000)^2(0.001)^2 + (50)^2(1)^2} \] \[ \Delta k = \sqrt{(3025)(10^{-6}) + (2500)} \] \[ \Delta k = \sqrt{0.003025 + 2500} \] \[ \Delta k = \sqrt{2500.003025} \approx 50.0 \,Н/м \]
- Найдем, можно ли считать, что жёсткость пружины не больше 1150 H/м: Для этого нужно вычислить отклонение значения жёсткости пружины от предполагаемой максимальной жёсткости и сравнивать это значение с погрешностью: \[ |k - 1150| = |1100 - 1150| = 50 \,Н/м \] Сравниваем это значение с абсолютной погрешностью Δk, которое равно 50.0 Н/м Получаем, что абсолютная погрешность совпадает с разницей между предполагаемой максимальной жёсткостью и вычисленной жёсткостью пружины. Следовательно, жёсткость пружины не может быть считать больше 1150 H/м.
