Каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(-5,3) и имеющей Е= корень из 2 имеет вид:

Давайте решим задачу, связанную с каноническим уравнением гиперболы. У нас есть информация, что гипербола проходит через точку \( M(-5, 3) \) и эксцентриситет \( E = \sqrt{2} \).

Шаг 1: Определение канонического уравнения гиперболы

Стандартное каноническое уравнение гиперболы, ориентированной вдоль оси \( x \), имеет вид:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Где \( a \) и \( b \) — параметры гиперболы.

Шаг 2: Использование эксцентриситета

Эксцентриситет гиперболы \( E \) связан с параметрами \( a \) и \( b \) следующим образом:

\[ E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \]

Подставим \( E = \sqrt{2} \):

\[ \sqrt{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \]

Преобразуем это уравнение, возведя обе стороны в квадрат:

\[ 2a^2 = a^2 + b^2 \]

Откуда следует, что:

\[ b^2 = a^2 \]

Шаг 3: Условие прохождения через точку

Подставляем координаты точки \( M(-5, 3) \) в уравнение гиперболы:

\[ \frac{(-5)^2}{a^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1 \]

С учётом того, что \( b^2 = a^2 \), получаем:

\[ \frac{25}{a^2} - \frac{9}{a^2} = 1 \]

\[ \frac{16}{a^2} = 1 \]

Отсюда:

\[ a^2 = 16 \]

Следовательно, \( b^2 = 16 \).

Шаг 4: Уравнение гиперболы

Подставляем найденные значения \( a^2 \) и \( b^2 \) в каноническое уравнение гиперболы:

\[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1 \]

Это и есть каноническое уравнение гиперболы.

Таким образом, мы нашли уравнение гиперболы, которая проходит через заданную точку и имеет указанный эксцентриситет.