Давайте решим задачу, связанную с каноническим уравнением гиперболы. У нас есть информация, что гипербола проходит через точку ( M(-5, 3) ) и эксцентриситет ( E = \sqrt{2} ).
Шаг 1: Определение канонического уравнения гиперболы
Стандартное каноническое уравнение гиперболы, ориентированной вдоль оси ( x ), имеет вид:
[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
]
Где ( a ) и ( b ) — параметры гиперболы.
Шаг 2: Использование эксцентриситета
Эксцентриситет гиперболы ( E ) связан с параметрами ( a ) и ( b ) следующим образом:
[
E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}
]
Подставим ( E = \sqrt{2} ):
[
\sqrt{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}
]
Преобразуем это уравнение, возведя обе стороны в квадрат:
[
2a^2 = a^2 + b^2
]
Откуда следует, что:
[
b^2 = a^2
]
Шаг 3: Условие прохождения через точку
Подставляем координаты точки ( M(-5, 3) ) в уравнение гиперболы:
[
\frac{(-5)^2}{a^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1
]
С учётом того, что ( b^2 = a^2 ), получаем:
[
\frac{25}{a^2} - \frac{9}{a^2} = 1
]
[
\frac{16}{a^2} = 1
]
Отсюда:
[
a^2 = 16
]
Следовательно, ( b^2 = 16 ).
Шаг 4: Уравнение гиперболы
Подставляем найденные значения ( a^2 ) и ( b^2 ) в каноническое уравнение гиперболы:
[
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1
]
Это и есть каноническое уравнение гиперболы.
Таким образом, мы нашли уравнение гиперболы, которая проходит через заданную точку и имеет указанный эксцентриситет.
