Дано:
Пусть искомое трёхзначное число, которое делится на 45, равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ - цифры в разрядах сотен, десятков и единиц соответственно.
Известо также, что после того как поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц, получили число $cab$.
Сначала вычислим число $abc$:
Поскольку число делится на 45, оно делится и на 5 и на 9.
- Последняя цифра равна 5 (так как делится на 5).
- Сумма цифр числа деленного на 9 должна быть кратна 9.
Значит, $a + b + c = 4 + 5 + 5 = 14$.
Поскольку $14$ уже не делится на $9$, нет точной симметричной трёхзначной цифры, делящейся на $45$.
После изменений цифр $cab$ и вычитания из исходного числа $abc$ получаем $72$:
$abc - cab = 72$.
Теперь составим уравнение и решим его:
$100a + 10b + c - (100c + 10a + b) = 72$
$99a - 99c = 72$
$a - c = \frac{72}{99}$
$a - c = \frac{8}{11}$.
Мы видим, что разница между $a$ и $c$ - рациональная дробь. Это означает, что исходное число $abc$ также не является целым числом, делящимся на 45.
Таким образом, из предоставленных данных невозможно найти трёхзначное число, которое делится на 45 и удовлетворяет условиям задачи.
