Цель: Понять
Задача предполагает нахождение дисперсии случайной величины X, которая представляет собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных.
- Решение:
Для начала определим вероятность того, что случайно выбранные два пирожка будут с повидлом.
Имеем 20 пирожков из которых 6 с повидлом, следовательно вероятность выбрать пирожок с повидлом равна:
[ P(\text{пирожок с повидлом}) = \frac{6}{20} = 0.3 ]
Далее, вероятность того, что первый выбранный пирожок с повидлом, а второй тоже:
[ P(\text{оба пирожка с повидлом}) = P(\text{пирожок с повидлом}) \times P(\text{пирожок с повидлом}) = 0.3 \times 0.3 = 0.09 ]
Теперь найдем дисперсию случайной величины X, обозначим X за количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Величина X может принимать значения 0, 1 или 2.
[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) ]
Где x_i - возможные значения X, а P(X = x_i) - вероятность того, что X равно x_i.
[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) ]
[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot (P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)) ]
[ E(X) = 1 \cdot (0.54) + 2 \cdot (0.09) ]
[ E(X) = 0.54 + 0.18 = 0.72 ]
Теперь найдем дисперсию:
[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 ]
Значение E(X) мы уже нашли: E(X) = 0.72
[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) ]
[ E(X^2) = 1 \cdot (P(X = 1) + 4 \cdot P(X = 2)) ]
[ E(X^2) = 1 \cdot (0.54 + 4 \cdot 0.09) ]
[ E(X^2) = 1 \cdot (0.54 + 0.36) = 0.9 ]
[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 ]
[ Var(X) = 0.9 - 0.72^2 = 0.9 - 0.5184 = 0.3816 ]
Поэтому дисперсия случайной величины X равна 0.38 (округленное до сотых), что и является ответом.
Это подробное решение считаем завершенным. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
