Решение:
Для нахождения дисперсии случайной величины, необходимо найти математическое ожидание данной случайной величины, а затем вычесть квадрат этого математического ожидания из математического ожидания квадрата случайной величины.
Дано:
Общее количество пирожков (N) = 17
Количество пирожков с повидлом (n) = 5
Так как мы выбираем два пирожка случайным образом, то для нахождения дисперсии случайной величины X мы должны рассмотреть все возможные комбинации выбора пирожков с повидлом.
Пусть A - выбрать пирожок с повидлом, B - выбрать второй пирожок с повидлом.
Возможные исходы:
- A + A (два пирожка с повидлом)
- A + B (пирожок с повидлом, затем обычный пирожок)
- B + A (обычный пирожок, затем пирожок с повидлом)
- B + B (два обычных пирожка)
Теперь рассчитаем вероятность каждого из исходов:
- Вероятность выбрать первый пирожок с повидлом (p1) = 5/17
- Вероятность выбрать второй пирожок с повидлом при условии выбора первого пирожка с повидлом (p2) = 4/16 = 1/4
- Вероятность выбрать первый обычный пирожок (p3) = 12/17
- Вероятность выбрать второй обычный пирожок при условии выбора первого обычного пирожка (p4) = 11/16
Теперь найдем математическое ожидание случайной величины X:
E[X] = p1 * p2 + p3 * p4
Вычислим математическое ожидание:
E[X] = (5/17 * 1/4) + (12/17 * 11/16) = 5/68 + 33/34 = 18/17
Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины X:
E[X^2] = (5/17 * 4/16) + (12/17 * 11/16)
E[X^2] = 20/272 + 132/272 = 152/272
Теперь находим дисперсию:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Var(X) = 152/272 - (18/17)^2 = 152/272 - 324/289 ≈ 0.0551
Ответ: Дисперсия случайной величины X ≈ 0.0551
